\documentclass[11pt,a4paper]{article}

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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\title{Proposition de Corrig\'e \\[4pt]
Concours Commun INP 2026 -- Math\'ematiques 1 (Fili\`ere MP)}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\section*{EXERCICE I --- Requ\^etes SQL}

\noindent On dispose des deux tables relationnelles suivantes~:
\begin{itemize}
  \item \texttt{ELEVES(\underline{id}, nom, prenom, email, promo)},
  \item \texttt{PAIEMENTS(\underline{id}, id\_eleve, montant, date\_paiement)}.
\end{itemize}

\subsection*{Q1.}

\'Ecrire une requ\^ete SQL qui s\'electionne les adresses email des \'el\`eves
dont la promo est diff\'erente de 2025, sans doublon.

On utilise \texttt{SELECT DISTINCT} pour \'eliminer les doublons et
\texttt{WHERE} pour filtrer sur la promo~:

\[
\boxed{\texttt{SELECT DISTINCT email FROM ELEVES WHERE promo <> 2025}}.
\]

\subsection*{Q2.}

\'Ecrire une requ\^ete SQL qui calcule, pour chaque \'el\`eve, le montant
total pay\'e (somme des montants dans \texttt{PAIEMENTS}), et trie le
r\'esultat par nom puis pr\'enom.

On effectue une jointure entre \texttt{ELEVES} et \texttt{PAIEMENTS} sur
l'identifiant, on agr\`ege par \texttt{GROUP BY} sur les colonnes
\texttt{nom} et \texttt{prenom}, et on trie avec \texttt{ORDER BY}~:

\[
\boxed{
\begin{array}{l}
\texttt{SELECT E.nom, E.prenom, SUM(P.montant)}\\
\texttt{FROM ELEVES E JOIN PAIEMENTS P ON E.id = P.id\_eleve}\\
\texttt{GROUP BY E.nom, E.prenom}\\
\texttt{ORDER BY E.nom, E.prenom}
\end{array}}
\]

\subsection*{Q3.}

\'Ecrire une requ\^ete SQL qui s\'electionne les identifiants et emails
des \'el\`eves apparaissant plusieurs fois dans la table \texttt{ELEVES}
(m\^eme combinaison nom, pr\'enom, email, promo).

On commence par identifier les quadruplets (nom, prenom, email, promo)
pr\'esents au moins deux fois dans \texttt{ELEVES} gr\^ace \`a
\texttt{GROUP BY} et \texttt{HAVING COUNT(*) >= 2}, puis on s\'electionne
les identifiants et emails correspondants~:

\[
\boxed{
\begin{array}{l}
\texttt{SELECT id, email FROM ELEVES}\\
\texttt{WHERE (nom, prenom, email, promo) IN}\\
\qquad\texttt{(SELECT nom, prenom, email, promo}\\
\qquad\texttt{FROM ELEVES}\\
\qquad\texttt{GROUP BY nom, prenom, email, promo}\\
\qquad\texttt{HAVING COUNT(*) >= 2)}
\end{array}}
\]

\subsection*{Q4.}

\'Ecrire une requ\^ete SQL qui s\'electionne les identifiants des \'el\`eves
n'ayant effectu\'e aucun paiement.

On utilise \texttt{NOT IN} avec une sous-requ\^ete sur
\texttt{PAIEMENTS}~:

\[
\boxed{\texttt{SELECT id FROM ELEVES WHERE id NOT IN (SELECT id\_eleve FROM PAIEMENTS)}}.
\]



\section*{EXERCICE II --- Fonctions g\'en\'eratrices et loi de Poisson}

\noindent Dans tout l'exercice, $X$ et $Y$ sont des variables al\'eatoires
\`a valeurs dans $\N$, d\'efinies sur un m\^eme espace probabilis\'e.
On note $G_X$ leur fonction g\'en\'eratrice d\'efinie par
\[
G_X(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(X=n)\,t^n,
\qquad t\in\R.
\]

\subsection*{Q5.}

Justifier que $G_X$ est d\'efinie (converge absolument) pour $t\in[-1,1]$.

Soit $t\in[-1,1]$. Pour tout $n\in\N$,
\[
|\mathbb{P}(X=n)\,t^n| = \mathbb{P}(X=n)\,|t|^n \le \mathbb{P}(X=n),
\]
car $|t|^n\le 1$. La s\'erie $\sum\mathbb{P}(X=n)$ converge et a pour somme
$1$ (probabilit\'es totales). Par le crit\`ere de comparaison des s\'eries
\`a termes positifs, $\sum \mathbb{P}(X=n)\,|t|^n$ converge.
Ainsi $G_X(t)$ est absolument convergente pour tout $t\in[-1,1]$.

\[
\boxed{G_X\text{ est d\'efinie (au moins) sur }[-1,1]}.
\]

\subsection*{Q6.}

Soit $X$ une variable al\'eatoire suivant la loi de Poisson de param\`etre
$\lambda>0$, not\'ee $X\sim\mathcal{P}(\lambda)$. D\'eterminer $G_X$.

Par d\'efinition, $\mathbb{P}(X=n)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^n}{n!}$ pour
$n\in\N$. Pour $t\in[-1,1]$,
\[
G_X(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}\,t^n
=e^{-\lambda}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(\lambda t)^n}{n!}
=e^{-\lambda}\,e^{\lambda t}=e^{\lambda(t-1)}.
\]
\[
\boxed{G_X(t)=e^{\lambda(t-1)}\quad\text{pour }t\in[-1,1]}.
\]

\subsection*{Q7.}

Soient $X$ et $Y$ deux variables al\'eatoires ind\'ependantes \`a valeurs
dans $\N$. Montrer que
\[
G_{X+Y}(t)=G_X(t)\,G_Y(t),\qquad t\in[-1,1].
\]

Par d\'efinition et par ind\'ependance de $X$ et $Y$,
\[
G_{X+Y}(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(X+Y=n)\,t^n.
\]
Pour $n\in\N$, la loi de $X+Y$ s'obtient par convolution~:
\[
\mathbb{P}(X+Y=n)=\sum_{j=0}^{n}\mathbb{P}(X=j)\,\mathbb{P}(Y=n-j).
\]
Ainsi, pour $t\in[-1,1]$,
\begin{align*}
G_{X+Y}(t)
&=\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{j=0}^{n}\mathbb{P}(X=j)\,\mathbb{P}(Y=n-j)\,t^n
=\sum_{j=0}^{+\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(X=j)\,\mathbb{P}(Y=k)\,t^{j+k}
\quad(k=n-j)\\
&=\Bigl(\sum_{j=0}^{+\infty}\mathbb{P}(X=j)\,t^j\Bigr)
\Bigl(\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(Y=k)\,t^k\Bigr)
=G_X(t)\,G_Y(t).
\end{align*}
Le produit est bien le produit de Cauchy de deux s\'eries absolument
convergentes sur $[-1,1]$ (Q5), ce qui justifie la manipulation.

\[
\boxed{G_{X+Y}=G_X\,G_Y\text{ sur }[-1,1]}.
\]

\subsection*{Q8.}

Soient $X\sim\mathcal{P}(\lambda)$ et $Y\sim\mathcal{P}(\mu)$
ind\'ependantes. D\'eterminer la loi de $Z=X+Y$.

D'apr\`es Q6 et Q7, pour $t\in[-1,1]$,
\[
G_Z(t)=G_X(t)\,G_Y(t)
=e^{\lambda(t-1)}\,e^{\mu(t-1)}
=e^{(\lambda+\mu)(t-1)}.
\]
On reconna\^it la fonction g\'en\'eratrice d'une variable al\'eatoire
suivant la loi de Poisson de param\`etre $\lambda+\mu$ (Q6). Par
caract\'erisation de la loi par la fonction g\'en\'eratrice, on conclut
\[
\boxed{Z\sim\mathcal{P}(\lambda+\mu)}.
\]



\section*{PROBL\`EME}

\noindent\textbf{Formule sommatoire de Poisson et noyau de Poisson}


\subsection*{Partie I --- Calcul d'une int\'egrale}

\noindent On pose pour $x>0$~:
\[
g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{x^{2}+t^{2}}\,e^{it}\,dt.
\]

\subsection*{Q9.}

Montrer que $g(x)$ est bien d\'efinie pour tout $x>0$.

Soit $x>0$ fix\'e. La fonction $\varphi_x:t\mapsto\dfrac{x}{x^{2}+t^{2}}\,e^{it}$
est continue sur $\R$ (le d\'enominateur ne s'annule pas). On \'etudie la
convergence absolue de l'int\'egrale~:
\[
|\varphi_x(t)|=\frac{x}{x^{2}+t^{2}}.
\]
Au voisinage de $0$, $\dfrac{x}{x^{2}+t^{2}}\sim\dfrac{1}{x}$,
donc l'int\'egrale converge en $0$ (int\'egrale d'une fonction continue
sur un segment).
Au voisinage de $\pm\infty$, $\dfrac{x}{x^{2}+t^{2}}\sim\dfrac{x}{t^{2}}$,
qui est int\'egrable (int\'egrale de Riemann avec exposant $2>1$).
Ainsi $\varphi_x$ est absolument int\'egrable sur $\R$, et $g(x)$ est
bien d\'efinie.

\[
\boxed{g(x)\text{ est bien d\'efinie pour tout }x>0}.
\]

\subsection*{Q10.}

Effectuer le changement de variable $u=t/x$ et simplifier $g(x)$.

La fonction $t\mapsto u=t/x$ est un $C^{1}$-diff\'eomorphisme de $\R$
sur $\R$, de d\'eriv\'ee $dt=x\,du$. On obtient
\[
g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{x^{2}+(xu)^{2}}\,e^{ixu}\,x\,du
=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}(1+u^{2})}\,e^{ixu}\,du
=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ixu}}{1+u^{2}}\,du.
\]
\[
\boxed{g(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ixu}}{1+u^{2}}\,du}.
\]

\subsection*{Q11.}

D\'eterminer $\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}g(x)$.

D'apr\`es Q10, $g(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{e^{ixu}}{1+u^{2}}\,du$. Posons
\[
\varphi(x,u)=\frac{e^{ixu}}{1+u^{2}},\qquad (x,u)\in\R_+\times\R.
\]
$\varphi$ est continue sur $\R_+\times\R$. Pour $x\in[0,1]$,
\[
|\varphi(x,u)|=\frac{1}{1+u^{2}}\in L^1(\R),
\]
ce qui fournit une domination uniforme au voisinage de $0$.
Par le th\'eor\`eme de continuit\'e des int\'egrales \`a param\`etre,
la fonction $g$ est continue en $0$ (prolong\'ee par
$g(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{du}{1+u^{2}}$). Ainsi
\[
\lim_{x\to0^{+}}g(x)=g(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{du}{1+u^{2}}
=\bigl[\arctan u\bigr]_{-\infty}^{+\infty}
=\frac{\pi}{2}-\Bigl(-\frac{\pi}{2}\Bigr)=\pi.
\]
\[
\boxed{\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}g(x)=\pi}.
\]

\subsection*{Q12.}

Montrer que $g$ est de classe $C^{2}$ sur $]0,+\infty[$.

On consid\`ere le noyau $K(x,t)=\dfrac{x}{x^{2}+t^{2}}\,e^{it}$.
$K$ est $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[\times\R$. Pour $x>0$,
\begin{itemize}
  \item $K(x,\cdot)$ est int\'egrable sur $\R$ (Q9).
  \item $\dfrac{\partial K}{\partial x}(x,t)=\dfrac{t^{2}-x^{2}}{(x^{2}+t^{2})^{2}}\,e^{it}$.
  Pour tout $x\ge a>0$,
  \[
  \Bigl|\frac{\partial K}{\partial x}(x,t)\Bigr|\le
  \frac{t^{2}+x^{2}}{(x^{2}+t^{2})^{2}}\le
  \frac{t^{2}+x^{2}}{(a^{2}+t^{2})^{2}}.
  \]
  Au voisinage de l'infini, cette fonction est $\sim\dfrac{1}{t^{2}}$,
  donc int\'egrable. Localement uniform\'ement pour $x>0$, $\frac{\partial K}{\partial x}$
  est domin\'ee par une fonction int\'egrable ind\'ependante de $x$.
  \item $\dfrac{\partial^{2} K}{\partial x^{2}}(x,t)=
  \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{t^{2}-x^{2}}{(x^{2}+t^{2})^{2}}\right)e^{it}
  =\dfrac{2x(x^{2}-3t^{2})}{(x^{2}+t^{2})^{3}}\,e^{it}$.
  Pour $x\ge a>0$,
  \[
  \Bigl|\frac{\partial^{2} K}{\partial x^{2}}(x,t)\Bigr|\le
  \frac{2x(x^{2}+3t^{2})}{(x^{2}+t^{2})^{3}}\le
  \frac{C}{a^{2}+t^{2}}
  \]
  pour une constante $C$ convenable (car pour $|t|$ grand,
  $\dfrac{2x(x^{2}+3t^{2})}{(x^{2}+t^{2})^{3}}\sim\dfrac{6x}{t^{4}}$,
  ce qui est int\'egrable).
\end{itemize}

Par le th\'eor\`eme de d\'erivation sous le signe int\'egral
(version $C^{k}$ de Leibniz), $g$ est $C^{2}$ sur $]0,+\infty[$,
et pour $x>0$,
\[
g'(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{t^{2}-x^{2}}{(x^{2}+t^{2})^{2}}\,e^{it}\,dt,
\qquad
g''(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2x(x^{2}-3t^{2})}{(x^{2}+t^{2})^{3}}\,e^{it}\,dt.
\]
\[
\boxed{g\in C^{2}(]0,+\infty[)}.
\]

\subsection*{Q13.}

En utilisant l'harmonicit\'e de $h(x,t)=\dfrac{x}{x^{2}+t^{2}}$,
\'etablir que $g$ v\'erifie l'\'equation diff\'erentielle $g''(x)-g(x)=0$.

On note $h(x,t)=\dfrac{x}{x^{2}+t^{2}}$. Un calcul direct donne~:
\[
\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{t^{2}-x^{2}}{(x^{2}+t^{2})^{2}},\qquad
\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}=\frac{2x(x^{2}-3t^{2})}{(x^{2}+t^{2})^{3}},
\]
\[
\frac{\partial h}{\partial t}=-\frac{2xt}{(x^{2}+t^{2})^{2}},\qquad
\frac{\partial^{2} h}{\partial t^{2}}
=-\frac{2x(x^{2}+t^{2})^{2}-2xt\cdot2t\cdot2(x^{2}+t^{2})}{(x^{2}+t^{2})^{4}}
=\frac{2x(3t^{2}-x^{2})}{(x^{2}+t^{2})^{3}}.
\]
On v\'erifie que $\Delta h=\dfrac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}
+\dfrac{\partial^{2} h}{\partial t^{2}}=0$~:
\[
\frac{2x(x^{2}-3t^{2})}{(x^{2}+t^{2})^{3}}+\frac{2x(3t^{2}-x^{2})}{(x^{2}+t^{2})^{3}}=0.
\]
Ainsi $h$ est harmonique sur $]0,+\infty[\times\R$, soit
\[
\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}=-\frac{\partial^{2} h}{\partial t^{2}}.
\]

D'apr\`es Q12,
\[
g''(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}(x,t)\,e^{it}\,dt
=-\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial^{2} h}{\partial t^{2}}(x,t)\,e^{it}\,dt.
\]

Effectuons deux int\'egrations par parties successives sur
$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial^{2} h}{\partial t^{2}}\,e^{it}\,dt$.
Pour $|t|\to+\infty$, $h(x,t)\sim\dfrac{x}{t^{2}}$,
$\dfrac{\partial h}{\partial t}\sim-\dfrac{2x}{t^{3}}$, donc les termes
de bord s'annulent~:
\[
\Bigl[\frac{\partial h}{\partial t}\,e^{it}\Bigr]_{-\infty}^{+\infty}=0.
\]
Premi\`ere int\'egration par parties~:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial^{2} h}{\partial t^{2}}\,e^{it}\,dt
=\Bigl[\frac{\partial h}{\partial t}\,e^{it}\Bigr]_{-\infty}^{+\infty}
-i\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial h}{\partial t}\,e^{it}\,dt
=-i\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial h}{\partial t}\,e^{it}\,dt.
\]
Seconde int\'egration par parties (les termes de bord s'annulent encore)~:
\[
-i\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial h}{\partial t}\,e^{it}\,dt
=-i\Bigl(\Bigl[h\,e^{it}\Bigr]_{-\infty}^{+\infty}
-i\int_{-\infty}^{+\infty}h\,e^{it}\,dt\Bigr)
=-\int_{-\infty}^{+\infty}h\,e^{it}\,dt=-g(x).
\]
On a donc $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{\partial^{2} h}{\partial t^{2}}\,e^{it}\,dt=-g(x)$, et par suite
\[
g''(x)=-\bigl(-g(x)\bigr)=g(x),
\]
soit
\[
\boxed{g''(x)-g(x)=0\quad\text{pour tout }x>0}.
\]

\subsection*{Q14.}

D\'eterminer $g(x)$ pour tout $x>0$.

L'\'equation caract\'eristique de $y''-y=0$ est $r^{2}-1=0$, de racines
$r=\pm1$. La solution g\'en\'erale est donc
\[
g(x)=A\,e^{x}+B\,e^{-x},\qquad A,B\in\R.
\]

D'apr\`es Q10,
\[
|g(x)|\le\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{du}{1+u^{2}}=\pi,
\]
donc $g$ est born\'ee sur $]0,+\infty[$. Si $A\neq0$,
$|g(x)|\sim|A|e^{x}\to+\infty$ quand $x\to+\infty$, ce qui contredit
la bornitude. N\'ecessairement $A=0$.

D'apr\`es Q11, $\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}g(x)=\pi$, donc $B=\pi$.

Ainsi
\[
\boxed{g(x)=\pi\,e^{-x}\quad\text{pour tout }x>0}.
\]

\subsection*{Partie II --- Formule sommatoire de Poisson}

\noindent On pose $f(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}$ pour $t\in\R$, et
\[
F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}f(x+n)+\sum_{n=1}^{+\infty}f(x-n)
=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(x+n).
\]

\subsection*{Q15.}

Montrer que $F$ est bien d\'efinie pour tout $x\in\R$ et qu'elle est
$1$-p\'eriodique.

Soit $x\in\R$. Pour $n\ge N$ avec $N$ assez grand, $|x+n|\ge\frac{n}{2}$,
donc $f(x+n)=\dfrac{1}{1+(x+n)^{2}}\le\dfrac{4}{n^{2}}$. De m\^eme pour
les termes n\'egatifs. La s\'erie $\sum\dfrac{1}{n^{2}}$ converge, donc
par comparaison la s\'erie $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(x+n)$
converge absolument. Ainsi $F(x)$ est bien d\'efinie.

V\'erifions la $1$-p\'eriodicit\'e~:
\[
F(x+1)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(x+1+n)
=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}f(x+m)\quad(m=n+1)=F(x).
\]
\[
\boxed{F\text{ est bien d\'efinie et }1\text{-p\'eriodique}}.
\]

\subsection*{Q16.}

Montrer que $F$ est continue sur $\R$.

Les fonctions $f_n:x\mapsto f(x+n)$ sont continues sur $\R$. Pour tout
$x\in\R$ et $n\in\Z$ avec $|n|$ assez grand,
$|f_n(x)|\le\dfrac{C}{n^{2}}$ (ind\'ependamment de $x$). La s\'erie
$\sum f_n$ converge normalement sur $\R$ (donc uniform\'ement). La somme
d'une s\'erie uniform\'ement convergente de fonctions continues est
continue. Ainsi $F$ est continue sur $\R$.

\[
\boxed{F\text{ est continue sur }\R}.
\]

\subsection*{Q17.}

Exprimer les coefficients de Fourier exponentiels de $F$ sous forme
d'une int\'egrale sur $\R$.

Puisque $F$ est $1$-p\'eriodique et continue, ses coefficients de Fourier
exponentiels sont d\'efinis pour $k\in\Z$ par
\[
c_k(F)=\int_{0}^{1} F(t)\,e^{-2i\pi k t}\,dt.
\]

En substituant la d\'efinition de $F$,
\begin{align*}
c_k(F)
&=\int_{0}^{1}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(t+n)\,e^{-2i\pi k t}\,dt\\
&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\int_{0}^{1}f(t+n)\,e^{-2i\pi k t}\,dt,
\end{align*}
l'interversion somme-int\'egrale \'etant justifi\'ee par la convergence
normale de la s\'erie de fonctions sur $[0,1]$ (Q15--Q16).
Effectuons le changement de variable $u=t+n$~:
\[
\int_{0}^{1}f(t+n)\,e^{-2i\pi k t}\,dt
=\int_{n}^{n+1}f(u)\,e^{-2i\pi k(u-n)}\,du
=e^{2i\pi k n}\int_{n}^{n+1}f(u)\,e^{-2i\pi k u}\,du.
\]
Comme $e^{2i\pi k n}=1$, on obtient
\[
c_k(F)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\int_{n}^{n+1}f(u)\,e^{-2i\pi k u}\,du
=\int_{-\infty}^{+\infty}f(u)\,e^{-2i\pi k u}\,du.
\]
\[
\boxed{c_k(F)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{e^{-2i\pi k u}}{1+u^{2}}\,du,\qquad k\in\Z}.
\]

\subsection*{Q18.}

Soit $n,k\in\Z$. Calculer $\displaystyle\int_{0}^{1} e^{-2i\pi (n+k)t}\,dt$.

Si $n+k=0$, alors $e^{-2i\pi(n+k)t}=1$ et l'int\'egrale vaut~$1$.
Si $n+k\neq0$,
\[
\int_{0}^{1} e^{-2i\pi (n+k)t}\,dt
=\Bigl[\frac{e^{-2i\pi (n+k)t}}{-2i\pi(n+k)}\Bigr]_{0}^{1}
=\frac{e^{-2i\pi (n+k)}-1}{-2i\pi(n+k)}=0,
\]
car $e^{-2i\pi m}=1$ pour tout $m\in\Z$.
\[
\boxed{\int_{0}^{1}e^{-2i\pi (n+k)t}\,dt=
\begin{cases}
1, & n+k=0,\\
0, & n+k\neq0.
\end{cases}}
\]



\subsection*{Partie III --- Synth\`ese et application}

\subsection*{Q19.}

En utilisant les r\'esultats des parties I et II, calculer $c_k(F)$
pour tout $k\in\Z$.

D'apr\`es Q17,
\[
c_k(F)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-2i\pi k u}}{1+u^{2}}\,du.
\]

Pour $k=0$, $c_0(F)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{du}{1+u^{2}}=\pi$.

Pour $k\ge1$, posons $x=2\pi k>0$. D'apr\`es Q10 et Q14,
\[
g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ixu}}{1+u^{2}}\,du
=\pi\,e^{-x}.
\]
Avec $x=2\pi k$, on a $g(2\pi k)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{e^{2i\pi k u}}{1+u^{2}}\,du=\pi\,e^{-2\pi k}$.
Or $c_k(F)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{e^{-2i\pi k u}}{1+u^{2}}\,du$. Par le changement de variable
$u\mapsto-u$, on obtient la m\^eme int\'egrale~:
$c_k(F)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{e^{2i\pi k u}}{1+u^{2}}\,du=g(2\pi k)=\pi\,e^{-2\pi k}$.

Pour $k\le-1$, notons $k=-m$ avec $m\ge1$. Alors
$c_k(F)=c_{-m}(F)=\overline{c_m(F)}=\pi\,e^{-2\pi m}=\pi\,e^{2\pi k}$
(car $e^{2\pi k}=e^{-2\pi|k|}$). En r\'esum\'e~:
\[
\boxed{c_0(F)=\pi,\qquad
c_k(F)=\pi\,e^{-2\pi|k|}\quad\text{pour }k\in\Z\setminus\{0\}}.
\]

\subsection*{Q20.}

On d\'efinit
\[
G(x)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k(F)\,e^{2i\pi k x}.
\]
Montrer que la s\'erie converge normalement sur $\R$ et que $G$ est
continue et $1$-p\'eriodique.

D'apr\`es Q19, $|c_k(F)|=\pi\,e^{-2\pi|k|}$. Pour $k\neq0$,
$\pi\,e^{-2\pi|k|}$ est le terme g\'en\'eral d'une s\'erie g\'eom\'etrique
convergente (raison $e^{-2\pi}<1$). Par cons\'equent, la s\'erie de
Fourier $\sum c_k(F)\,e^{2i\pi k x}$ converge normalement sur $\R$.
La somme $G$ d'une s\'erie normalement convergente de fonctions continues
est continue. Chaque terme $e^{2i\pi k x}$ est $1$-p\'eriodique, donc
$G$ l'est aussi.

\[
\boxed{G\text{ est continue et }1\text{-p\'eriodique}}.
\]

\subsection*{Q21.}

En utilisant un th\'eor\`eme d'unicit\'e des coefficients de Fourier,
montrer que $F=G$ sur $\R$.

D'apr\`es Q16 et Q20, $F$ et $G$ sont toutes deux continues et
$1$-p\'eriodiques. Par construction (Q17), $F$ a pour coefficients de
Fourier $c_k(F)$. $G$ est d\'efinie comme la s\'erie de Fourier de
$F$, donc $c_k(G)=c_k(F)$ pour tout $k\in\Z$ (par identification des
coefficients de la s\'erie trigonom\'etrique $G$). Le th\'eor\`eme
d'unicit\'e des coefficients de Fourier pour les fonctions continues
$1$-p\'eriodiques assure que $F=G$ (deux fonctions continues ayant les
m\^emes coefficients de Fourier sont \'egales).

\[
\boxed{F=G\text{ sur }\R}.
\]

\subsection*{Q22.}

En d\'eduire une expression simplifi\'ee de $F(x)$.

D'apr\`es Q19, Q20 et Q21,
\begin{align*}
F(x)
&=\pi+\sum_{k=1}^{+\infty}\pi\,e^{-2\pi k}\bigl(e^{2i\pi k x}+e^{-2i\pi k x}\bigr)\\
&=\pi+2\pi\sum_{k=1}^{+\infty}e^{-2\pi k}\cos(2\pi k x).
\end{align*}

Posons $r=e^{-2\pi}$ et $\theta=2\pi x$. Exprimons la somme \`a l'aide de
la s\'erie g\'eom\'etrique~:
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}r^{k}e^{ik\theta}
=\frac{r e^{i\theta}}{1-r e^{i\theta}},
\qquad\text{car }0\le r<1.
\]
On en d\'eduit
\begin{align*}
1+2\sum_{k=1}^{+\infty}r^{k}\cos(k\theta)
&=1+\sum_{k=1}^{+\infty}r^{k}\bigl(e^{ik\theta}+e^{-ik\theta}\bigr)\\
&=1+\frac{r e^{i\theta}}{1-r e^{i\theta}}
+\frac{r e^{-i\theta}}{1-r e^{-i\theta}}.
\end{align*}
R\'eduisons au m\^eme d\'enominateur~:
\begin{align*}
1+\frac{r e^{i\theta}}{1-r e^{i\theta}}+\frac{r e^{-i\theta}}{1-r e^{-i\theta}}
&=\frac{(1-r e^{i\theta})(1-r e^{-i\theta})
+r e^{i\theta}(1-r e^{-i\theta})
+r e^{-i\theta}(1-r e^{i\theta})}
{(1-r e^{i\theta})(1-r e^{-i\theta})}\\[4pt]
&=\frac{1-r(e^{i\theta}+e^{-i\theta})+r^{2}
+r e^{i\theta}-r^{2}+r e^{-i\theta}-r^{2}}
{1-r(e^{i\theta}+e^{-i\theta})+r^{2}}\\[4pt]
&=\frac{1-r^{2}}{1-2r\cos\theta+r^{2}}.
\end{align*}
Ainsi
\[
F(x)=\pi\cdot\frac{1-e^{-4\pi}}{1-2e^{-2\pi}\cos(2\pi x)+e^{-4\pi}}.
\]
\[
\boxed{F(x)=\pi\,\dfrac{1-e^{-4\pi}}
{1-2e^{-2\pi}\cos(2\pi x)+e^{-4\pi}},\quad x\in\R}.
\]

\end{document}
