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\newcommand{\rot}{{\nabla\wedge}}

% Notation vectorielle
\newcommand{\vect}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\uv}[1]{\widehat{\vect{#1}}}

% Nombres complexes
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% Dérivées
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% Unités
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% Constantes
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% Partie réelle/im
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% Raccourcis
\newcommand{\Q}{\subsection*{Q}}

\title{\textbf{CCINP 2026 -- Filière MP\\Épreuve de Physique (MP5P)\\\large Corrigé}}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents

\vspace{1cm}
\noindent\textbf{Remarque préliminaire :} Le sujet est constitué de trois parties totalement indépendantes.
\vspace{0.5cm}

% ===================================================================
\section{Partie I -- Le ressort, couteau-suisse de la physique}
% ===================================================================

\subsection{Mesures du champ de pesanteur de la planète}

\Q1.

\textbf{(a)} La force de gravitation exercée par la planète (masse $M_p$, rayon $R_p$) sur une masse $m$ située à l'altitude $z$ vaut, par la loi de Newton :
\[
\vect{F}_{\text{grav}} = -\,\frac{G M_p m}{(R_p+z)^2}\,\uv{u}_r
\]
soit en norme $F_{\text{grav}} = \dfrac{G M_p m}{(R_p+z)^2}$. En factorisant par $R_p$ :
\[
F_{\text{grav}} = \frac{G M_p m}{R_p^2}\left(1+\frac{z}{R_p}\right)^{-2}
\]
En posant $g_0 = \dfrac{G M_p}{R_p^2}$, on obtient :
\[
\boxed{F_{\text{grav}} \simeq m g_0\left(1-\frac{2z}{R_p}\right)}
\]
au premier ordre en $z/R_p$ (D.L.~: $(1+\varepsilon)^{-2}\simeq 1-2\varepsilon$ pour $\varepsilon\ll1$).

\textbf{(b)} La variation relative s'écrit :
\[
\frac{|\Delta g|}{g_0} = \frac{2z}{R_p} < 0{,}01
\;\Rightarrow\; z < \frac{0{,}01\,R_p}{2} = 5\times10^{-3}\,R_p
\]
AN~: $R_p=4000\un{km}$ donne $\boxed{z_{\max}=20\un{km}}$. La gravitation varie de moins de 1\,\% tant qu'on reste dans la basse atmosphère.

\Q2.

Le référentiel lié au sol est supposé galiléen. La masse $m$ est soumise à son poids $m\vect{g}_0$ et à la tension $\vect{T}$. Dans la base polaire $(\uv{u}_r,\uv{u}_\theta)$, le PFD donne en projection sur $\uv{u}_\theta$~:
\[
m\,\ell\,\ddot\theta = -m g_0\sin\theta
\]
soit, en linéarisant pour $\theta\ll1$~:
\[
\boxed{\ddot\theta + \frac{g_0}{\ell}\,\theta = 0}
\]
La pulsation est $\omega_0=\sqrt{g_0/\ell}$. En mesurant la période $T_0=2\pi\sqrt{\ell/g_0}$ au chronomètre, on déduit $g_0 = 4\pi^2\ell/T_0^2$.

\Q3.

La force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la planète à la vitesse angulaire $\Omega$ s'écrit~:
\[
\boxed{\vect{F}_{ie} = m\Omega^2 R_p\cos\lambda\;\uv{u}}
\]
où $\lambda$ est la latitude et $\uv{u}$ le vecteur unitaire perpendiculaire à l'axe de rotation (pointant vers l'extérieur).

\Q4.

Le poids est la somme de la force de gravitation et de la force d'inertie d'entraînement~:
\[
\vect{g} = \vect{g}_0 + \Omega^2 R_p\cos\lambda\;\uv{u}
\]
La condition pour que $g\simeq g_0$ à toute latitude est~:
\[
\Omega^2 R_p \ll g_0 \;\Leftrightarrow\; \Omega^2 \ll \frac{G M_p}{R_p^3}
\]
Numériquement, cela signifie que la période de rotation $T_{\text{rot}}=2\pi/\Omega$ est très grande devant $\sqrt{R_p^3/(GM_p)}$.

\Q5.

À l'équilibre, le poids compense la force de rappel du ressort~:
\[
mg = k\,h \;\Rightarrow\; \boxed{g = \frac{k\,h}{m}}
\]

\Q6.

AN~: $k=50{,}0\un{N\,m^{-1}}$, $m=0{,}200\un{kg}$, $h=2{,}0\un{cm}=0{,}020\un{m}$~:
\[
g = \frac{50{,}0\times0{,}020}{0{,}200} = \boxed{5{,}0\un{m\,s^{-2}}}
\]
Incertitude-type relative~: $\dfrac{\Delta g}{g} \simeq \dfrac{\Delta h}{h} \simeq \dfrac{0{,}1\un{cm}}{2{,}0\un{cm}} = 5\,\%$ (l'incertitude sur $k$ et $m$ étant négligeable devant celle sur $h$).

\Q7.

En repérant l'élongation $x(t)$ depuis la position d'équilibre, le PFD donne~:
\[
m\ddot x = -k(h+x) + mg = -k x
\]
soit~:
\[
\boxed{\ddot x + \frac{k}{m}\,x = 0}
\]

\Q8.

Solution~: $x(t)=X_m\cos(\omega_0 t+\varphi)$ avec $\boxed{\omega_0=\sqrt{k/m}}$. Les CI~: $x(0)=x_0$, $\dot x(0)=0$ donnent $X_m=x_0$, $\varphi=0$, soit $x(t)=x_0\cos(\omega_0 t)$.

\Q9.

De $g = k h/m$ et $\omega_0^2 = k/m$, on tire $\boxed{g = h\,\omega_0^2}$.

AN~: $N=10$ aller-retours en $T_{10}=4\un{s}$ donne $T_0 = T_{10}/N = 0{,}4\un{s}$. Alors $\omega_0=2\pi/T_0\simeq15{,}7\un{rad\,s^{-1}}$ et~:
\[
g = h\,\omega_0^2 = 0{,}020\times(15{,}7)^2 \simeq \boxed{4{,}9\un{m\,s^{-2}}}
\]
Cette valeur est cohérente avec la mesure statique ($5{,}0\un{m\,s^{-2}}$) à l'incertitude de mesure près ($\Delta h/h \simeq 5\,\%$). Le modèle de ressort sans masse est donc suffisant.

\Q10.

\textbf{(a)} L'énergie cinétique élémentaire d'une tranche de ressort à l'abscisse $\tau$ est~:
\[
\dd E_c = \frac12 \dd m\left(\frac{\dd\xi}{\dd t}\right)^2,\quad \dd m = \frac{m_0}{\ell_{\text{tot}}}\,\dd\tau,\quad \xi(\tau,t) = x(t)\,\frac{\tau}{\ell_{\text{tot}}}
\]
avec $x(t)=x_0\cos(\Gamma t)$. Alors~:
\[
\frac{\dd\xi}{\dd t} = \dot x(t)\,\frac{\tau}{\ell_{\text{tot}}} = -x_0\Gamma\sin(\Gamma t)\,\frac{\tau}{\ell_{\text{tot}}}
\]
L'énergie cinétique totale du ressort nu~:
\[
E_c^{\,(r)} = \int_0^{\ell_{\text{tot}}} \frac12 \frac{m_0}{\ell_{\text{tot}}} \dot x^2 \frac{\tau^2}{\ell_{\text{tot}}^2}\,\dd\tau
= \frac12 \frac{m_0}{\ell_{\text{tot}}^3}\,\dot x^2 \int_0^{\ell_{\text{tot}}} \tau^2\,\dd\tau
= \frac12 \frac{m_0}{3}\,\dot x^2
\]
Soit~:
\[
\boxed{E_c^{\,(r)}(t) = \frac{m_0}{6}\,x_0^2\Gamma^2\sin^2(\Gamma t)}
\]

\textbf{(b)} L'énergie cinétique maximale vaut $\boxed{E_{c,\max}^{(r)} = \dfrac{m_0}{6}\,x_0^2\Gamma^2}$.

\Q11.

L'énergie totale du système $\{$ressort $+$ masse $m\}$ se conserve~:
\[
E_{\text{tot}} = \underbrace{\frac12 k x(t)^2}_{E_{p,\text{ressort}}} + \underbrace{\frac12 m\dot x(t)^2}_{E_c^{(m)}} + \underbrace{\frac{m_0}{6}\dot x(t)^2}_{E_c^{(r)}} = \cst
\]
En $t=0$~: $x=x_0$, $\dot x=0$ donc $E_{\text{tot}} = \frac12 k x_0^2$. Le mouvement est sinusoïdal à la pulsation $\Gamma$~: $x(t)=x_0\cos(\Gamma t)$, $\dot x(t)=-x_0\Gamma\sin(\Gamma t)$. À $t$ quelconque~:
\[
\frac12 k x_0^2\cos^2(\Gamma t) + \frac12\left(m+\frac{m_0}{3}\right)x_0^2\Gamma^2\sin^2(\Gamma t) = \frac12 k x_0^2
\]
Pour que cette relation soit vérifiée à tout instant, il faut $\Gamma^2(m+m_0/3)=k$, soit~:
\[
\Gamma^2 = \frac{k}{m+m_0/3} = \frac{k/m}{1+m_0/(3m)} = \frac{\omega_0^2}{1+\beta}
\]
avec $\boxed{\beta = \dfrac{m_0}{3m}}$. Ainsi $\boxed{\Gamma = \dfrac{\omega_0}{\sqrt{1+\beta}}}$.

\Q12.

En tenant compte de $\beta$, la relation $g = h\,\omega_0^2$ devient~:
\[
g = h\,\omega_0^2 = h\,\Gamma^2(1+\beta)
\]
soit~:
\[
\boxed{g = h\,\Gamma^2\left(1+\frac{m_0}{3m}\right)}
\]

\Q13.

AN~: $m_0=10\un{g}=0{,}010\un{kg}$, $m=0{,}200\un{kg}$, $\beta=0{,}010/(3\times0{,}200)\simeq0{,}0167$. Avec $T_0=0{,}4\un{s}$, $\Gamma=2\pi/T_0\simeq15{,}7\un{rad\,s^{-1}}$~:
\[
g = 0{,}020\times(15{,}7)^2\times(1+0{,}0167) \simeq \boxed{5{,}0\un{m\,s^{-2}}}
\]
La correction due à $\beta$ est faible ($\approx 1{,}7\,\%$). Les deux mesures (statique et dynamique) sont maintenant cohérentes, avec $g\approx 5{,}0\un{m\,s^{-2}}$.

% -------------------------------------------------------------------
\subsection{Que tremble la planète !}

\Q14.

\vspace{-0.5em}
\begin{itemize}[leftmargin=*]
  \item \textbf{Onde longitudinale}~: le déplacement du milieu se fait dans la direction de propagation (ex.~: onde sonore).
  \item \textbf{Onde transversale}~: le déplacement est perpendiculaire à la direction de propagation (ex.~: onde à la surface de l'eau, onde électromagnétique dans le vide).
\end{itemize}
$c_s$ est la célérité (vitesse de phase) de l'onde sismique dans le milieu considéré.

\Q15.

L'onde $s(z,t)=S_0 e^{\iota(\omega t - k z)}$ se propage selon $+\uv{u}_z$ (signe $-$ devant $kz$). En injectant dans l'équation de d'Alembert~:
\[
\frac{\partial^2 s}{\partial t^2} = c_s^2 \frac{\partial^2 s}{\partial z^2}
\;\Rightarrow\; -\omega^2 = -c_s^2 k^2
\]
soit la relation de dispersion~: $\boxed{\omega^2 = c_s^2 k^2}$.

\Q16.

Avec le terme d'amortissement~:
\[
\frac{\partial^2 s}{\partial t^2} + \eta\frac{\partial s}{\partial t} = c_s^2\frac{\partial^2 s}{\partial z^2}
\]
En notation complexe~: $-\omega^2 + \iota\eta\omega = -c_s^2 k^2$, soit~:
\[
\boxed{k^2 = \frac{\omega^2}{c_s^2} - \iota\frac{\eta\omega}{c_s^2}}
\]

Dans le cas $\omega\gg\eta$, on développe à l'ordre~1 en $\eta/\omega$. On pose $k = k_r + \iota k_i$ avec $k_r,k_i\in\mathbb{R}$~:
\[
(k_r+\iota k_i)^2 = \frac{\omega^2}{c_s^2}\left(1 - \iota\frac{\eta}{\omega}\right)
\]
Au premier ordre~:
\[
k_r \simeq \frac{\omega}{c_s},\qquad k_i \simeq -\frac{\eta}{2c_s}
\]
car $2k_r k_i \simeq -\omega^2\eta/(\omega c_s^2) \Rightarrow k_i \simeq -\eta/(2c_s)$ (le signe $-$ assure l'atténuation).

La forme réelle de l'onde est~:
\[
s(z,t) = S_0\,e^{-a z}\cos(\omega t - b z),\quad a = -k_i = \frac{\eta}{2c_s},\; b = k_r = \frac{\omega}{c_s}
\]
$b$ est le nombre d'onde et $a$ le coefficient d'atténuation (inverse de la distance de pénétration). La courbe à $t$ fixé est une sinusoïde amortie exponentiellement.

\Q17.

Dans le référentiel du bâti $\mathcal{R}_b$, le PFD appliqué à la masse $M$ s'écrit~:
\[
M\ddot u = -k u - \alpha\dot u - M\ddot X
\]
car l'accélération d'entraînement est $\ddot X$ (le bâti accélère par rapport au sol galiléen). Soit~:
\[
\boxed{\ddot u + \frac{\alpha}{M}\,\dot u + \frac{k}{M}\,u = -\ddot X}
\]
En posant $\Omega_0^2 = k/M$ et $Q = \dfrac{\sqrt{kM}}{\alpha}$, on obtient~:
\[
\ddot u + \frac{\Omega_0}{Q}\,\dot u + \Omega_0^2\,u = -\ddot X
\]

\Q18.

$A$ est l'amplitude du déplacement du sol, $B$ l'amplitude du déplacement relatif de la masse $M$ par rapport au bâti, et $\varphi$ le déphasage de $u$ par rapport à $X$.

\Q19.

En régime sinusoïdal forcé~: $X(t)=A e^{\iota\omega t}$, $u(t)=B e^{\iota(\omega t+\varphi)}$ soit $H(\omega)=B e^{\iota\varphi}/A$. En injectant~:
\[
(-\omega^2 + \iota\omega\Omega_0/Q + \Omega_0^2)\,u = \omega^2 X
\]
d'où~:
\[
\boxed{H(\omega) = \frac{u}{X} = \frac{\omega^2}{\Omega_0^2 - \omega^2 + \iota\,\omega\Omega_0/Q}}
\]

\Q20.

D'après le code Python (figure~5)~:
\begin{itemize}
  \item Ligne~11~: \texttt{omega0 = 2*np.pi*f0}
  \item Ligne~12~: \texttt{alpha = omega0/Q}
  \item Ligne~18~: \texttt{gain\_db = 20*np.log10(g(frequencies/f0, Q))}
\end{itemize}

\Q21.

\begin{itemize}
  \item \textbf{Basse fréquence}~($\omega\to0$)~: $H\sim\omega^2/\Omega_0^2$, $G_{\text{dB}}\sim40\log(\omega/\Omega_0)$.
  \item \textbf{Haute fréquence}~($\omega\to\infty$)~: $H\sim1$, $G_{\text{dB}}\sim0$.
\end{itemize}
Intersection des asymptotes~: $40\log(\omega/\Omega_0)=0\Rightarrow\omega=\Omega_0$ soit $f=f_0$. Le filtre est un \textbf{passe-haut du 2\textsuperscript{e} ordre}. La pulsation de résonance~: $\omega_{\text{rés}} = \Omega_0\sqrt{1-1/(2Q^2)}$ si $Q>1/\sqrt2$. Graphiquement (figure~7), $f_0\simeq0{,}3\un{Hz}$ et le pic de résonance donne $Q\simeq5$ (par la méthode de la largeur à $-3\un{dB}$). On en déduit $\alpha = \dfrac{\sqrt{kM}}{Q} = \dfrac{M\Omega_0}{Q}$.

\Q22.

\textbf{(a)} Pour une transformation adiabatique réversible~: $\dd S=0$ (isentropique). Alors~:
\[
\frac{nR}{\gamma-1}\frac{\dd T}{T} + P\frac{\dd V}{T} = 0
\]
Avec $PV=nRT$, on obtient~: $\dfrac{\dd T}{T} + (\gamma-1)\dfrac{\dd V}{V}=0$, soit $TV^{\gamma-1}=\cste$ (loi de Laplace).

\Q23.

\textbf{(a)} $C_\ell$ est la capacité thermique (à élongation constante) du ressort. Par analogie avec le gaz parfait~: $\dd S = C_\ell\dfrac{\dd T}{T} + D\,\dd\ell = 0$ donne à la température $T_f$. En intégrant~:
\[
C_\ell\ln\frac{T_f}{T_i} + D(\ell_f-\ell_i) = 0
\;\Rightarrow\;
\boxed{T_f = T_i\,\exp\!\left(-\frac{D}{C_\ell}(\ell_f-\ell_i)\right)}
\]

\textbf{(b)} Protocole~: on place le ressort à une température $T_i$ connue (température de référence, par ex. celle de la glace fondante). On l'étire adiabatiquement jusqu'à $\ell_f$ (mesuré) et on mesure la température $T_f$ atteinte. La relation $\displaystyle T_f = T_i\exp\!\left(-\frac{D}{C_\ell}(\ell_f-\ell_i)\right)$ donne $T_i$ en fonction des grandeurs mesurées. Inversement, si $T_i$ est inconnue, on peut réaliser deux expériences avec des $\ell_f$ différents pour déterminer les deux inconnues $T_i$ et $D/C_\ell$.

% ===================================================================
\section{Partie II -- Interaction lumière-matière}
% ===================================================================

\subsection{Modèle de l'électron élastiquement lié et propagation du rayonnement}

\Q24.

Le noyau, beaucoup plus massif que l'électron ($m_{\text{noyau}}\gg m_e$), est considéré fixe dans l'approximation de Born-Oppenheimer~: son mouvement est négligeable devant celui de l'électron.

\Q25.

Par symétrie sphérique de la distribution de charge, le champ $\vect{E}$ est radial~: $\vect{E}=E(r)\,\uv{u}_r$. Le théorème de Gauss appliqué à une sphère de rayon $r<R_0$ donne~:
\[
\oint\vect{E}\cdot\dd\vect{S} = \frac{Q_{\text{int}}}{\eps0}
\;\Rightarrow\; 4\pi r^2 E(r) = \frac{Q_0}{\eps0}\frac{r^3}{R_0^3}
\]
soit~:
\[
\boxed{\vect{E}(r) = \frac{Q_0}{4\pi\eps0 R_0^3}\,r\,\uv{u}_r}
\]
La force de rappel exercée sur l'électron ($q=-e$) est donc~: $\vect{f}_r = -e\vect{E} = -\dfrac{e Q_0}{4\pi\eps0 R_0^3}\,\vect{r}$. On identifie $\boxed{\kappa = \dfrac{e Q_0}{4\pi\eps0 R_0^3}}$.

\Q26.

Les équations de Maxwell dans le milieu diélectrique diffèrent de celles dans le vide par la présence de $\varepsilon_r$ dans l'équation d'Ampère~: $\vect{rot}\,\vect{B} = \mu_0\varepsilon_0\varepsilon_r\,\partial\vect{E}/\partial t$ (absence de courants libres). Les équations de Maxwell-Gauss ($\div\vect{E}=0$) et Maxwell-Flux ($\div\vect{B}=0$) sont inchangées en volume (milieu neutre).

\Q27.

L'onde $\vect{E}=E_0 e^{\iota(\omega t - kz)}\uv{u}_x$ se propage selon $+\uv{u}_z$ (vecteur d'onde $\vect{k}=k\,\uv{u}_z$) et est polarisée rectilignement selon $\uv{u}_x$.

\Q28.

$\div\vect{E} = \partial E_x/\partial x = 0$ (car $E_x$ ne dépend que de $z$ et $t$), ce qui vérifie Maxwell-Gauss. Le champ est perpendiculaire à la direction de propagation $\vect{k}$~: l'onde est transverse.

\Q29.

D'après Maxwell-Faraday~: $\vect{rot}\,\vect{E} = -\partial\vect{B}/\partial t$ donne $\iota\vect{k}\wedge\vect{E} = -\iota\omega\vect{B}$, soit~:
\[
\boxed{\vect{B} = \frac{\vect{k}\wedge\vect{E}}{\omega}}
\]
Le champ magnétique est également transverse ($\vect{k}\cdot\vect{B}=0$).

\Q30.

La force magnétique est négligeable devant la force électrique si $|v\wedge\vect{B}| \ll |\vect{E}|$. Avec $B\sim E/c$, cela donne $v\ll c$ (vitesse non relativiste de l'électron), condition vérifiée en régime linéaire d'interaction.

\Q31.

Taille typique d'un atome~: $a_0\simeq5\times10^{-11}\un{m}$ (rayon de Bohr). Longueur d'onde UV~: $\lambda\simeq200\un{nm}=2\times10^{-7}\un{m}$. À l'échelle atomique $a_0\ll\lambda$, le champ électrique varie peu spatialement~: $k a_0 = 2\pi a_0/\lambda \ll 1$, il est quasi-uniforme.

\Q32.

L'électron est soumis à~: $\vect{f}_r = -\kappa\,\vect{r}$ (rappel), $\vect{f}_f = -\alpha\,\vect{v}$ (frottement) et $\vect{f}_L = -e\vect{E}$ (force électrique du rayonnement, la partie magnétique étant négligée). Le PFD donne~:
\[
m\,\frac{\dd^2\vect{r}}{\dd t^2} = -\kappa\,\vect{r} - \alpha\,\frac{\dd\vect{r}}{\dd t} - e\vect{E}
\]
soit~:
\[
\boxed{\frac{\dd^2\vect{r}}{\dd t^2} + \frac{\alpha}{m}\,\frac{\dd\vect{r}}{\dd t} + \frac{\kappa}{m}\,\vect{r} = -\frac{e}{m}\,\vect{E}}
\]

\Q33.

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation $\omega$, on pose $\vect{r}(t)=\ub{\vect{r}}\,e^{\iota\omega t}$, $\vect{E}(t)=\ub{\vect{E}}\,e^{\iota\omega t}$. L'équation devient~:
\[
-\omega^2\ub{\vect{r}} + \iota\omega\frac{\alpha}{m}\ub{\vect{r}} + \frac{\kappa}{m}\ub{\vect{r}} = -\frac{e}{m}\ub{\vect{E}}
\]
En posant $\omega_0^2 = \kappa/m$ et $Q = \dfrac{\sqrt{\kappa m}}{\alpha} = \dfrac{m\omega_0}{\alpha}$ (facteur de qualité), on obtient~:
\[
\boxed{\ub{\vect{r}} = -\frac{e}{m}\,\frac{\ub{\vect{E}}}{\omega_0^2 - \omega^2 + \iota\omega\omega_0/Q}}
\]

\Q34.

En reportant $\vect{E}=E_0 e^{\iota(\omega t - kz)}\uv{u}_x$ dans l'équation de propagation~:
\[
\Delta\vect{E} = \frac{\varepsilon_r}{c^2}\,\frac{\partial^2\vect{E}}{\partial t^2}
\;\Rightarrow\; (-k^2)(E_0 e^{\iota(...)}) = \frac{\varepsilon_r}{c^2}(-\omega^2)(E_0 e^{\iota(...)})
\]
soit~:
\[
\boxed{k^2 = \varepsilon_r\,\frac{\omega^2}{c^2}}
\]

\Q35.

On pose $k(\omega) = k_1(\omega) - \iota k_2(\omega)$ et $\varepsilon_r(\omega) = \varepsilon_1(\omega) - \iota\varepsilon_2(\omega)$ (partie imaginaire négative par convention physique). Alors~:
\[
(k_1 - \iota k_2)^2 = (\varepsilon_1 - \iota\varepsilon_2)\,\frac{\omega^2}{c^2}
\]
En identifiant~:
\[
k_1^2 - k_2^2 = \varepsilon_1\,\frac{\omega^2}{c^2},\qquad
2k_1 k_2 = \varepsilon_2\,\frac{\omega^2}{c^2}
\]

\Q36.

Le champ électrique réel est~:
\[
\boxed{\vect{E}(z,t) = E_0\,e^{-k_2 z}\cos(\omega t - k_1 z)\,\uv{u}_x}
\]

\Q37.

$\delta = 1/k_2$ est la \textbf{longueur de pénétration} (ou distance caractéristique d'atténuation) dans le milieu~: l'amplitude est divisée par $e$ après une distance $\delta$.

\Q38.

Si le milieu est peu absorbant, $\varepsilon_2 \ll \varepsilon_1$ et $k_2\ll k_1$. Alors~:
\[
k_1 \simeq \frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_1},\qquad
k_2 \simeq \frac{\omega}{2c}\,\frac{\varepsilon_2}{\sqrt{\varepsilon_1}}
\]

\Q39.

La vitesse de phase est~: $v_\varphi = \dfrac{\omega}{k_1} = \dfrac{c}{\sqrt{\varepsilon_1(\omega)}}$. Comme $\varepsilon_1$ dépend de $\omega$, $v_\varphi$ dépend de $\omega$~: le milieu est \textbf{dispersif}.

\Q40.

Le vecteur de Poynting complexe est~: $\ub{\vect{\Pi}} = \dfrac{1}{\mu_0}\,\ub{\vect{E}}\wedge\ub{\vect{B}}^* = \dfrac{1}{\mu_0}\,\ub{\vect{E}}\wedge\left(\frac{\ub{\vect{k}}^*\wedge\ub{\vect{E}}^*}{\omega}\right)$. La valeur moyenne temporelle est~:
\[
\langle\vect{\Pi}\rangle_t = \frac12\Ree(\ub{\vect{\Pi}}) = \frac{E_0^2}{2\mu_0\omega}\,k_1 e^{-2k_2 z}\,\uv{u}_z
\]
soit~:
\[
\boxed{\langle\vect{\Pi}\rangle_t = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}\,\sqrt{\varepsilon_1}\,e^{-2k_2 z}\,\uv{u}_z}
\]

\Q41.

À $\omega$ fixée, l'absorbance définie par $\mathcal{A}(L) = -\log_{10}\!\left(\dfrac{\langle\Pi(z+L)\rangle}{\langle\Pi(z)\rangle}\right)$ vaut~:
\[
\mathcal{A}(L) = -\log_{10}\!\big(e^{-2k_2 L}\big) = 2k_2 L\log_{10} e
\]
Donc $\boxed{\mathcal{A}(L) \propto k_2 L}$.

\Q42.

L'absorbance renseigne sur $k_2(\omega)$, donc sur $\varepsilon_2(\omega)$~: elle donne accès au spectre d'absorption du milieu et donc à sa composition chimique (longueurs d'onde des raies d'absorption caractéristiques).

% ===================================================================
\section{Partie III -- Mesure optique et spectroscopie}
% ===================================================================

\subsection{Spectroscopie UV/Visible}

\Q43.

Un état stationnaire est un état quantique dont la densité de probabilité $|\Psi(x,t)|^2$ est indépendante du temps. Il s'écrit $\Psi(x,t)=\phi(x)e^{-\iota Et/\hbar}$ où $E$ est l'énergie de l'état.

\Q44.

L'équation de Schrödinger dépendante du temps s'écrit~:
\[
\boxed{\iota\hbar\,\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V(x)\,\Psi}
\]

\Q45.

Pour $x\in]0,a[$, $V(x)=0$. L'équation stationnaire est~:
\[
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\dd^2\phi}{\dd x^2} = E\phi
\;\Rightarrow\; \frac{\dd^2\phi}{\dd x^2} + \kappa^2\phi = 0,\quad \kappa = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}
\]
La solution générale est~:
\[
\boxed{\phi(x) = A\cos(\kappa x) + B\sin(\kappa x)}
\]

\Q46.

Conditions aux limites~: la fonction d'onde s'annule sur les bords du puits infini ($\phi(0)=\phi(a)=0$). $\phi(0)=0\Rightarrow A=0$. $\phi(a)=0\Rightarrow\sin(\kappa a)=0$, soit $\kappa_n a = n\pi$, $n\in\mathbb{N}^*$.

D'où~:
\[
E_n = \frac{\hbar^2\kappa_n^2}{2m} = \frac{\hbar^2\pi^2 n^2}{2ma^2}
\]
L'énergie fondamentale~: $\boxed{E_1 = \dfrac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}}$, et $\boxed{E_n = n^2 E_1}$.

\Q47.

\textbf{(a)} Les électrons $\pi$ sont délocalisés sur l'ensemble du squelette carboné. Le puits de potentiel s'étend du premier au dernier atome de carbone. Pour $N$ carbones en chaîne linéaire reliés par $(N-1)$ liaisons de longueur $d_{cc}$, la longueur totale du puits est :
\[
a = (N-1)\,d_{cc}
\]
Pour le buta-1,3-diène ($N=4$), on a $\boxed{a = 3\,d_{cc}}$.

Pour $N$ pair, les $N/2$ niveaux les plus bas sont occupés (2 électrons par niveau). HOMO $\rightarrow$ LUMO correspond à $n=N/2 \to n=N/2+1$. L'énergie de transition~:
\[
\Delta E = E_{N/2+1} - E_{N/2} = \big((N/2+1)^2 - (N/2)^2\big)E_1 = (N+1)E_1
\]
La longueur d'onde associée~: $\lambda = \dfrac{hc}{\Delta E} = \dfrac{2mc a^2}{h(N+1)}$. Avec $a \simeq (N-1)d_{cc}$~:
\[
\lambda \simeq \frac{2mc\,(N-1)^2 d_{cc}^2}{h(N+1)}
\]
AN~: $N=4$, $d_{cc}\simeq1{,}4\times10^{-10}\un{m}$~:
\[
\lambda \simeq \frac{2\times9{,}1\times10^{-31}\times3{,}0\times10^8\times(3)^2\times(1{,}4\times10^{-10})^2}{6{,}63\times10^{-34}\times5} \approx \boxed{2\times10^{-7}\un{m} = 200\un{nm}}
\]
C'est dans l'UV, ordre de grandeur attendu pour une transition $\pi\to\pi^*$ d'un diène conjugué.

\subsection{Interféromètre d'Young~: mesure de l'indice optique}

\Q48.

Placer $S$ dans le plan focal objet de $L_1$ donne un faisceau collimaté (parallèle) en sortie de $L_1$, assurant une illumination cohérente des deux fentes avec des ondes planes en phase.

\Q49.

En conditions de Gauss (petits angles), la différence de marche entre les rayons issus de $F_1$ et $F_2$ au point $M(x,y=0,z=f_1')$ est~:
\[
\delta = \frac{a x}{f_1'}
\]
puisque les deux rayons arrivent parallèles sur $L_2$ et interfèrent dans son plan focal image.

\Q50.

La frange d'ordre nul ($\delta=0$) se trouve en $x=0$, sur l'axe optique.

\Q51.

Si la cuve $C_2$ est vidée (pression nulle, indice $n_{\text{vide}}=1$), la différence de marche s'accroît de $(n_{\text{gaz}}-1)\ell$ car le trajet dans $C_2$ passe du gaz au vide. La nouvelle position de la frange d'ordre nul vérifie~:
\[
\delta_{\text{tot}} = \frac{a x_0}{f_1'} + (n_{\text{gaz}}-1)\ell = 0
\;\Rightarrow\; x_0 = -\frac{(n_{\text{gaz}}-1)\ell f_1'}{a}
\]

Le passage de $N=100$ franges brillantes au centre donne~:
\[
\frac{(n_{\text{gaz}}-1)\ell}{\lambda} = N
\;\Rightarrow\; \boxed{n_{\text{gaz}} = 1 + \frac{N\lambda}{\ell}}
\]

AN~: $\ell=20{,}0\un{cm}=0{,}200\un{m}$, $\lambda=600\un{nm}=6{,}00\times10^{-7}\un{m}$, $N=100$~:
\[
n_{\text{gaz}} = 1 + \frac{100\times6{,}00\times10^{-7}}{0{,}200} = 1 + 3{,}00\times10^{-4} = \boxed{1{,}00030}
\]

\vfill
\begin{center}
\boxed{\text{FIN}}
\end{center}

\end{document}
