\documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{geometry} \geometry{margin=2.5cm} \usepackage{enumitem} \usepackage{graphicx} \usepackage{hyperref} \usepackage{xcolor} \usepackage{array} \hypersetup{colorlinks=true,linkcolor=blue,urlcolor=blue} \newcommand{\div}{{\nabla\cdot}} \newcommand{\rot}{{\nabla\wedge}} % Notation vectorielle \newcommand{\vect}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\uv}[1]{\widehat{\vect{#1}}} % Nombres complexes \newcommand{\ub}[1]{\underline{#1}} % Dérivées \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ddt}{\frac{\dd}{\dd t}} \newcommand{\ddt2}{\frac{\dd^2}{\dd t^2}} % Unités \newcommand{\un}[1]{\,\mathrm{#1}} % Constantes \newcommand{\eps0}{\varepsilon_0} \newcommand{\mu0}{\mu_0} \newcommand{\cst}{\mathrm{cste}} % Partie réelle/im \newcommand{\Ree}{\operatorname{Re}} \newcommand{\Imm}{\operatorname{Im}} % Raccourcis \newcommand{\Q}{\subsection*{Q}} \title{\textbf{CCINP 2026 -- Filière MP\\Épreuve de Physique (MP5P)\\\large Corrigé}} \author{} \date{} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \vspace{1cm} \noindent\textbf{Remarque préliminaire :} Le sujet est constitué de trois parties totalement indépendantes. \vspace{0.5cm} % =================================================================== \section{Partie I -- Le ressort, couteau-suisse de la physique} % =================================================================== \subsection{Mesures du champ de pesanteur de la planète} \Q1. \textbf{(a)} La force de gravitation exercée par la planète (masse $M_p$, rayon $R_p$) sur une masse $m$ située à l'altitude $z$ vaut, par la loi de Newton : \[ \vect{F}_{\text{grav}} = -\,\frac{G M_p m}{(R_p+z)^2}\,\uv{u}_r \] soit en norme $F_{\text{grav}} = \dfrac{G M_p m}{(R_p+z)^2}$. En factorisant par $R_p$ : \[ F_{\text{grav}} = \frac{G M_p m}{R_p^2}\left(1+\frac{z}{R_p}\right)^{-2} \] En posant $g_0 = \dfrac{G M_p}{R_p^2}$, on obtient : \[ \boxed{F_{\text{grav}} \simeq m g_0\left(1-\frac{2z}{R_p}\right)} \] au premier ordre en $z/R_p$ (D.L.~: $(1+\varepsilon)^{-2}\simeq 1-2\varepsilon$ pour $\varepsilon\ll1$). \textbf{(b)} La variation relative s'écrit : \[ \frac{|\Delta g|}{g_0} = \frac{2z}{R_p} < 0{,}01 \;\Rightarrow\; z < \frac{0{,}01\,R_p}{2} = 5\times10^{-3}\,R_p \] AN~: $R_p=4000\un{km}$ donne $\boxed{z_{\max}=20\un{km}}$. La gravitation varie de moins de 1\,\% tant qu'on reste dans la basse atmosphère. \Q2. Le référentiel lié au sol est supposé galiléen. La masse $m$ est soumise à son poids $m\vect{g}_0$ et à la tension $\vect{T}$. Dans la base polaire $(\uv{u}_r,\uv{u}_\theta)$, le PFD donne en projection sur $\uv{u}_\theta$~: \[ m\,\ell\,\ddot\theta = -m g_0\sin\theta \] soit, en linéarisant pour $\theta\ll1$~: \[ \boxed{\ddot\theta + \frac{g_0}{\ell}\,\theta = 0} \] La pulsation est $\omega_0=\sqrt{g_0/\ell}$. En mesurant la période $T_0=2\pi\sqrt{\ell/g_0}$ au chronomètre, on déduit $g_0 = 4\pi^2\ell/T_0^2$. \Q3. La force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la planète à la vitesse angulaire $\Omega$ s'écrit~: \[ \boxed{\vect{F}_{ie} = m\Omega^2 R_p\cos\lambda\;\uv{u}} \] où $\lambda$ est la latitude et $\uv{u}$ le vecteur unitaire perpendiculaire à l'axe de rotation (pointant vers l'extérieur). \Q4. Le poids est la somme de la force de gravitation et de la force d'inertie d'entraînement~: \[ \vect{g} = \vect{g}_0 + \Omega^2 R_p\cos\lambda\;\uv{u} \] La condition pour que $g\simeq g_0$ à toute latitude est~: \[ \Omega^2 R_p \ll g_0 \;\Leftrightarrow\; \Omega^2 \ll \frac{G M_p}{R_p^3} \] Numériquement, cela signifie que la période de rotation $T_{\text{rot}}=2\pi/\Omega$ est très grande devant $\sqrt{R_p^3/(GM_p)}$. \Q5. À l'équilibre, le poids compense la force de rappel du ressort~: \[ mg = k\,h \;\Rightarrow\; \boxed{g = \frac{k\,h}{m}} \] \Q6. AN~: $k=50{,}0\un{N\,m^{-1}}$, $m=0{,}200\un{kg}$, $h=2{,}0\un{cm}=0{,}020\un{m}$~: \[ g = \frac{50{,}0\times0{,}020}{0{,}200} = \boxed{5{,}0\un{m\,s^{-2}}} \] Incertitude-type relative~: $\dfrac{\Delta g}{g} \simeq \dfrac{\Delta h}{h} \simeq \dfrac{0{,}1\un{cm}}{2{,}0\un{cm}} = 5\,\%$ (l'incertitude sur $k$ et $m$ étant négligeable devant celle sur $h$). \Q7. En repérant l'élongation $x(t)$ depuis la position d'équilibre, le PFD donne~: \[ m\ddot x = -k(h+x) + mg = -k x \] soit~: \[ \boxed{\ddot x + \frac{k}{m}\,x = 0} \] \Q8. Solution~: $x(t)=X_m\cos(\omega_0 t+\varphi)$ avec $\boxed{\omega_0=\sqrt{k/m}}$. Les CI~: $x(0)=x_0$, $\dot x(0)=0$ donnent $X_m=x_0$, $\varphi=0$, soit $x(t)=x_0\cos(\omega_0 t)$. \Q9. De $g = k h/m$ et $\omega_0^2 = k/m$, on tire $\boxed{g = h\,\omega_0^2}$. AN~: $N=10$ aller-retours en $T_{10}=4\un{s}$ donne $T_0 = T_{10}/N = 0{,}4\un{s}$. Alors $\omega_0=2\pi/T_0\simeq15{,}7\un{rad\,s^{-1}}$ et~: \[ g = h\,\omega_0^2 = 0{,}020\times(15{,}7)^2 \simeq \boxed{4{,}9\un{m\,s^{-2}}} \] Cette valeur est cohérente avec la mesure statique ($5{,}0\un{m\,s^{-2}}$) à l'incertitude de mesure près ($\Delta h/h \simeq 5\,\%$). Le modèle de ressort sans masse est donc suffisant. \Q10. \textbf{(a)} L'énergie cinétique élémentaire d'une tranche de ressort à l'abscisse $\tau$ est~: \[ \dd E_c = \frac12 \dd m\left(\frac{\dd\xi}{\dd t}\right)^2,\quad \dd m = \frac{m_0}{\ell_{\text{tot}}}\,\dd\tau,\quad \xi(\tau,t) = x(t)\,\frac{\tau}{\ell_{\text{tot}}} \] avec $x(t)=x_0\cos(\Gamma t)$. Alors~: \[ \frac{\dd\xi}{\dd t} = \dot x(t)\,\frac{\tau}{\ell_{\text{tot}}} = -x_0\Gamma\sin(\Gamma t)\,\frac{\tau}{\ell_{\text{tot}}} \] L'énergie cinétique totale du ressort nu~: \[ E_c^{\,(r)} = \int_0^{\ell_{\text{tot}}} \frac12 \frac{m_0}{\ell_{\text{tot}}} \dot x^2 \frac{\tau^2}{\ell_{\text{tot}}^2}\,\dd\tau = \frac12 \frac{m_0}{\ell_{\text{tot}}^3}\,\dot x^2 \int_0^{\ell_{\text{tot}}} \tau^2\,\dd\tau = \frac12 \frac{m_0}{3}\,\dot x^2 \] Soit~: \[ \boxed{E_c^{\,(r)}(t) = \frac{m_0}{6}\,x_0^2\Gamma^2\sin^2(\Gamma t)} \] \textbf{(b)} L'énergie cinétique maximale vaut $\boxed{E_{c,\max}^{(r)} = \dfrac{m_0}{6}\,x_0^2\Gamma^2}$. \Q11. L'énergie totale du système $\{$ressort $+$ masse $m\}$ se conserve~: \[ E_{\text{tot}} = \underbrace{\frac12 k x(t)^2}_{E_{p,\text{ressort}}} + \underbrace{\frac12 m\dot x(t)^2}_{E_c^{(m)}} + \underbrace{\frac{m_0}{6}\dot x(t)^2}_{E_c^{(r)}} = \cst \] En $t=0$~: $x=x_0$, $\dot x=0$ donc $E_{\text{tot}} = \frac12 k x_0^2$. Le mouvement est sinusoïdal à la pulsation $\Gamma$~: $x(t)=x_0\cos(\Gamma t)$, $\dot x(t)=-x_0\Gamma\sin(\Gamma t)$. À $t$ quelconque~: \[ \frac12 k x_0^2\cos^2(\Gamma t) + \frac12\left(m+\frac{m_0}{3}\right)x_0^2\Gamma^2\sin^2(\Gamma t) = \frac12 k x_0^2 \] Pour que cette relation soit vérifiée à tout instant, il faut $\Gamma^2(m+m_0/3)=k$, soit~: \[ \Gamma^2 = \frac{k}{m+m_0/3} = \frac{k/m}{1+m_0/(3m)} = \frac{\omega_0^2}{1+\beta} \] avec $\boxed{\beta = \dfrac{m_0}{3m}}$. Ainsi $\boxed{\Gamma = \dfrac{\omega_0}{\sqrt{1+\beta}}}$. \Q12. En tenant compte de $\beta$, la relation $g = h\,\omega_0^2$ devient~: \[ g = h\,\omega_0^2 = h\,\Gamma^2(1+\beta) \] soit~: \[ \boxed{g = h\,\Gamma^2\left(1+\frac{m_0}{3m}\right)} \] \Q13. AN~: $m_0=10\un{g}=0{,}010\un{kg}$, $m=0{,}200\un{kg}$, $\beta=0{,}010/(3\times0{,}200)\simeq0{,}0167$. Avec $T_0=0{,}4\un{s}$, $\Gamma=2\pi/T_0\simeq15{,}7\un{rad\,s^{-1}}$~: \[ g = 0{,}020\times(15{,}7)^2\times(1+0{,}0167) \simeq \boxed{5{,}0\un{m\,s^{-2}}} \] La correction due à $\beta$ est faible ($\approx 1{,}7\,\%$). Les deux mesures (statique et dynamique) sont maintenant cohérentes, avec $g\approx 5{,}0\un{m\,s^{-2}}$. % ------------------------------------------------------------------- \subsection{Que tremble la planète !} \Q14. \vspace{-0.5em} \begin{itemize}[leftmargin=*] \item \textbf{Onde longitudinale}~: le déplacement du milieu se fait dans la direction de propagation (ex.~: onde sonore). \item \textbf{Onde transversale}~: le déplacement est perpendiculaire à la direction de propagation (ex.~: onde à la surface de l'eau, onde électromagnétique dans le vide). \end{itemize} $c_s$ est la célérité (vitesse de phase) de l'onde sismique dans le milieu considéré. \Q15. L'onde $s(z,t)=S_0 e^{\iota(\omega t - k z)}$ se propage selon $+\uv{u}_z$ (signe $-$ devant $kz$). En injectant dans l'équation de d'Alembert~: \[ \frac{\partial^2 s}{\partial t^2} = c_s^2 \frac{\partial^2 s}{\partial z^2} \;\Rightarrow\; -\omega^2 = -c_s^2 k^2 \] soit la relation de dispersion~: $\boxed{\omega^2 = c_s^2 k^2}$. \Q16. Avec le terme d'amortissement~: \[ \frac{\partial^2 s}{\partial t^2} + \eta\frac{\partial s}{\partial t} = c_s^2\frac{\partial^2 s}{\partial z^2} \] En notation complexe~: $-\omega^2 + \iota\eta\omega = -c_s^2 k^2$, soit~: \[ \boxed{k^2 = \frac{\omega^2}{c_s^2} - \iota\frac{\eta\omega}{c_s^2}} \] Dans le cas $\omega\gg\eta$, on développe à l'ordre~1 en $\eta/\omega$. On pose $k = k_r + \iota k_i$ avec $k_r,k_i\in\mathbb{R}$~: \[ (k_r+\iota k_i)^2 = \frac{\omega^2}{c_s^2}\left(1 - \iota\frac{\eta}{\omega}\right) \] Au premier ordre~: \[ k_r \simeq \frac{\omega}{c_s},\qquad k_i \simeq -\frac{\eta}{2c_s} \] car $2k_r k_i \simeq -\omega^2\eta/(\omega c_s^2) \Rightarrow k_i \simeq -\eta/(2c_s)$ (le signe $-$ assure l'atténuation). La forme réelle de l'onde est~: \[ s(z,t) = S_0\,e^{-a z}\cos(\omega t - b z),\quad a = -k_i = \frac{\eta}{2c_s},\; b = k_r = \frac{\omega}{c_s} \] $b$ est le nombre d'onde et $a$ le coefficient d'atténuation (inverse de la distance de pénétration). La courbe à $t$ fixé est une sinusoïde amortie exponentiellement. \Q17. Dans le référentiel du bâti $\mathcal{R}_b$, le PFD appliqué à la masse $M$ s'écrit~: \[ M\ddot u = -k u - \alpha\dot u - M\ddot X \] car l'accélération d'entraînement est $\ddot X$ (le bâti accélère par rapport au sol galiléen). Soit~: \[ \boxed{\ddot u + \frac{\alpha}{M}\,\dot u + \frac{k}{M}\,u = -\ddot X} \] En posant $\Omega_0^2 = k/M$ et $Q = \dfrac{\sqrt{kM}}{\alpha}$, on obtient~: \[ \ddot u + \frac{\Omega_0}{Q}\,\dot u + \Omega_0^2\,u = -\ddot X \] \Q18. $A$ est l'amplitude du déplacement du sol, $B$ l'amplitude du déplacement relatif de la masse $M$ par rapport au bâti, et $\varphi$ le déphasage de $u$ par rapport à $X$. \Q19. En régime sinusoïdal forcé~: $X(t)=A e^{\iota\omega t}$, $u(t)=B e^{\iota(\omega t+\varphi)}$ soit $H(\omega)=B e^{\iota\varphi}/A$. En injectant~: \[ (-\omega^2 + \iota\omega\Omega_0/Q + \Omega_0^2)\,u = \omega^2 X \] d'où~: \[ \boxed{H(\omega) = \frac{u}{X} = \frac{\omega^2}{\Omega_0^2 - \omega^2 + \iota\,\omega\Omega_0/Q}} \] \Q20. D'après le code Python (figure~5)~: \begin{itemize} \item Ligne~11~: \texttt{omega0 = 2*np.pi*f0} \item Ligne~12~: \texttt{alpha = omega0/Q} \item Ligne~18~: \texttt{gain\_db = 20*np.log10(g(frequencies/f0, Q))} \end{itemize} \Q21. \begin{itemize} \item \textbf{Basse fréquence}~($\omega\to0$)~: $H\sim\omega^2/\Omega_0^2$, $G_{\text{dB}}\sim40\log(\omega/\Omega_0)$. \item \textbf{Haute fréquence}~($\omega\to\infty$)~: $H\sim1$, $G_{\text{dB}}\sim0$. \end{itemize} Intersection des asymptotes~: $40\log(\omega/\Omega_0)=0\Rightarrow\omega=\Omega_0$ soit $f=f_0$. Le filtre est un \textbf{passe-haut du 2\textsuperscript{e} ordre}. La pulsation de résonance~: $\omega_{\text{rés}} = \Omega_0\sqrt{1-1/(2Q^2)}$ si $Q>1/\sqrt2$. Graphiquement (figure~7), $f_0\simeq0{,}3\un{Hz}$ et le pic de résonance donne $Q\simeq5$ (par la méthode de la largeur à $-3\un{dB}$). On en déduit $\alpha = \dfrac{\sqrt{kM}}{Q} = \dfrac{M\Omega_0}{Q}$. \Q22. \textbf{(a)} Pour une transformation adiabatique réversible~: $\dd S=0$ (isentropique). Alors~: \[ \frac{nR}{\gamma-1}\frac{\dd T}{T} + P\frac{\dd V}{T} = 0 \] Avec $PV=nRT$, on obtient~: $\dfrac{\dd T}{T} + (\gamma-1)\dfrac{\dd V}{V}=0$, soit $TV^{\gamma-1}=\cste$ (loi de Laplace). \Q23. \textbf{(a)} $C_\ell$ est la capacité thermique (à élongation constante) du ressort. Par analogie avec le gaz parfait~: $\dd S = C_\ell\dfrac{\dd T}{T} + D\,\dd\ell = 0$ donne à la température $T_f$. En intégrant~: \[ C_\ell\ln\frac{T_f}{T_i} + D(\ell_f-\ell_i) = 0 \;\Rightarrow\; \boxed{T_f = T_i\,\exp\!\left(-\frac{D}{C_\ell}(\ell_f-\ell_i)\right)} \] \textbf{(b)} Protocole~: on place le ressort à une température $T_i$ connue (température de référence, par ex. celle de la glace fondante). On l'étire adiabatiquement jusqu'à $\ell_f$ (mesuré) et on mesure la température $T_f$ atteinte. La relation $\displaystyle T_f = T_i\exp\!\left(-\frac{D}{C_\ell}(\ell_f-\ell_i)\right)$ donne $T_i$ en fonction des grandeurs mesurées. Inversement, si $T_i$ est inconnue, on peut réaliser deux expériences avec des $\ell_f$ différents pour déterminer les deux inconnues $T_i$ et $D/C_\ell$. % =================================================================== \section{Partie II -- Interaction lumière-matière} % =================================================================== \subsection{Modèle de l'électron élastiquement lié et propagation du rayonnement} \Q24. Le noyau, beaucoup plus massif que l'électron ($m_{\text{noyau}}\gg m_e$), est considéré fixe dans l'approximation de Born-Oppenheimer~: son mouvement est négligeable devant celui de l'électron. \Q25. Par symétrie sphérique de la distribution de charge, le champ $\vect{E}$ est radial~: $\vect{E}=E(r)\,\uv{u}_r$. Le théorème de Gauss appliqué à une sphère de rayon $r