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\title{Proposition de Corrigé\\Concours Commun Mines-Ponts 2025 -- Mathématiques 1 (Filière MP)}
\author{}\date{}

\begin{document}
\maketitle
\textit{Thème :} Inégalités de Khintchine.

% ======================================================
\section*{Inégalité de Hölder}
% ======================================================

\subsection*{Q1. — Inégalité de Young}

Soient $x,y\geq 0$ et $p,q>1$ avec $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

\textbf{Cas $x=0$ ou $y=0$.} L'inégalité $xy\leq\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}$ est immédiate car les deux membres valent~$0$ et la somme du membre droit est $\geq 0$.

\textbf{Cas $x,y>0$.} La fonction $\exp$ est convexe sur $\R$ (car $(\exp)''=\exp>0$). Appliquons l'inégalité de convexité $\exp(\lambda a+(1-\lambda)b)\leq\lambda\exp(a)+(1-\lambda)\exp(b)$ avec $\lambda=\frac{1}{p}$, $1-\lambda=\frac{1}{q}$, $a=p\ln x>-\infty$ et $b=q\ln y>-\infty$ :
\[
\exp\!\left(\frac{p\ln x}{p}+\frac{q\ln y}{q}\right)\leq \frac{1}{p}\exp(p\ln x)+\frac{1}{q}\exp(q\ln y),
\]
soit $e^{\ln x+\ln y}\leq\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}$, c'est-à-dire :
\[
xy\leq\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}.\qquad\square
\]

\subsection*{Q2. — Inégalité de Hölder}

Soient $X,Y:\Omega\to\R_+$ des variables aléatoires positives.

\textbf{Cas $\E(X^p)=\E(Y^q)=1$.} Pour tout $\omega\in\Omega$, on a $X(\omega)\geq0$ et $Y(\omega)\geq0$. L'inégalité de Young (Q1) donne :
\[
X(\omega)Y(\omega)\leq\frac{X(\omega)^p}{p}+\frac{Y(\omega)^q}{q}.
\]
En prenant l'espérance (qui est linéaire et croissante) :
\[
\E(XY)\leq\frac{\E(X^p)}{p}+\frac{\E(Y^q)}{q}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1=\bigl(\E(X^p)\bigr)^{1/p}\bigl(\E(Y^q)\bigr)^{1/q}.
\]

\textbf{Cas général.} Si $\E(X^p)=0$, alors $X(\omega)^p=0$ pour tout $\omega$ (car $\Omega$ est fini et chaque $\omega$ a probabilité $>0$), donc $X\equiv0$ et $\E(XY)=0\leq\bigl(\E(X^p)\bigr)^{1/p}\bigl(\E(Y^q)\bigr)^{1/q}$. De même si $\E(Y^q)=0$. Sinon, posons :
\[
X'=\frac{X}{\bigl(\E(X^p)\bigr)^{1/p}}\geq0,\qquad Y'=\frac{Y}{\bigl(\E(Y^q)\bigr)^{1/q}}\geq0.
\]
On a $\E(X'^p)=1$ et $\E(Y'^q)=1$, donc par le cas précédent $\E(X'Y')\leq1$, soit :
\[
\E(XY)\leq\bigl(\E(X^p)\bigr)^{1/p}\bigl(\E(Y^q)\bigr)^{1/q}.\qquad\square
\]

\subsection*{Q3. — Inégalité de Cauchy-Schwarz}

L'inégalité de Cauchy-Schwarz est le cas $p=q=2$ de Hölder : pour $X,Y\geq0$,
\[
\E(XY)\leq\sqrt{\E(X^2)}\,\sqrt{\E(Y^2)}.
\]

\textbf{Preuve directe (sans utiliser Q2).} Pour tout $t\in\R$, la variable $(X-tY)^2$ est positive, donc $\E\bigl((X-tY)^2\bigr)\geq0$, c'est-à-dire :
\[
\E(X^2)-2t\,\E(XY)+t^2\,\E(Y^2)\geq0.
\]
Si $\E(Y^2)=0$, alors $Y\equiv0$ et l'inégalité est triviale. Sinon, ce trinôme en $t$ est de signe constant, donc son discriminant est négatif ou nul :
\[
\bigl(2\,\E(XY)\bigr)^2-4\,\E(X^2)\,\E(Y^2)\leq0,
\]
d'où $\E(XY)^2\leq\E(X^2)\,\E(Y^2)$, et donc $\E(XY)\leq\sqrt{\E(X^2)\,\E(Y^2)}$.\quad$\square$

% ======================================================
\section*{Une inégalité de déviation}
% ======================================================

\subsection*{Q4. — Inégalité $\cosh(t)\leq e^{t^2/2}$}

On compare les développements en série entière, convergents sur $\R$ tout entier :
\[
\cosh(t)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{t^{2k}}{(2k)!},\qquad e^{t^2/2}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(t^2/2)^k}{k!}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{t^{2k}}{2^k\,k!}.
\]
Il suffit de montrer que, pour tout $k\geq0$, $(2k)!\geq 2^k\,k!$, ce qui donnera terme à terme $\frac{t^{2k}}{(2k)!}\leq\frac{t^{2k}}{2^k\,k!}$ et donc $\cosh(t)\leq e^{t^2/2}$ (toutes les séries étant à termes positifs pour $t\in\R$).

\textbf{Preuve de $(2k)!\geq2^k\,k!$.} On peut écrire :
\[
(2k)!=\underbrace{1\cdot3\cdot5\cdots(2k-1)}_{\text{facteurs impairs}}\cdot\underbrace{2\cdot4\cdot6\cdots(2k)}_{\text{facteurs pairs}}.
\]
Les $k$ facteurs impairs sont tous $\geq1$, et le produit des $k$ facteurs pairs vaut $2^k\,k!$. Donc :
\[
(2k)!\geq1^k\cdot 2^k\,k!=2^k\,k!.\qquad\square
\]

\subsection*{Q5. — Majoration de la fonction génératrice des moments}

Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables de Rademacher indépendantes ($\P(X_i=1)=\P(X_i=-1)=\frac{1}{2}$) et $(c_1,\ldots,c_n)\in\R^n$. Pour tout $t\in\R$ :

Par indépendance des $X_i$, les variables $e^{tc_iX_i}$ sont indépendantes, donc :
\[
\E\!\left(\exp\!\left(t\sum_{i=1}^nc_iX_i\right)\right)=\E\!\left(\prod_{i=1}^ne^{tc_iX_i}\right)=\prod_{i=1}^n\E\!\left(e^{tc_iX_i}\right).
\]
Pour chaque $i$, par définition de la loi de Rademacher :
\[
\E\!\left(e^{tc_iX_i}\right)=\frac{e^{tc_i}+e^{-tc_i}}{2}=\cosh(tc_i).
\]
Par Q4 (appliqué à $tc_i$ à la place de $t$), $\cosh(tc_i)\leq e^{t^2c_i^2/2}$. Donc :
\[
\E\!\left(\exp\!\left(t\sum_{i=1}^nc_iX_i\right)\right)\leq\prod_{i=1}^ne^{t^2c_i^2/2}=\exp\!\left(\frac{t^2}{2}\sum_{i=1}^nc_i^2\right).\qquad\square
\]

\subsection*{Q6. — Inégalité de déviation via Markov}

Posons $S=\sum_{i=1}^nc_iX_i$. Soit $x>0$. Puisque $|S|>t$ si et seulement si $e^{x|S|}>e^{xt}$, l'inégalité de Markov appliquée à la variable aléatoire positive $e^{x|S|}$ donne :
\[
\P(|S|>t)=\P\!\left(e^{x|S|}>e^{xt}\right)\leq\frac{\E\!\left(e^{x|S|}\right)}{e^{xt}}.
\]
On majore $\E(e^{x|S|})$. Pour tout $\omega$, $e^{x|S(\omega)|}\leq e^{xS(\omega)}+e^{-xS(\omega)}$ (car $|S|\leq\max(S,-S)$ et $e^{x|\cdot|}=\max(e^{x\cdot},e^{-x\cdot})\leq e^{x\cdot}+e^{-x\cdot}$). Par Q5 (appliqué successivement à $t=x$ et à $t=-x$, la majoration étant symétrique) :
\[
\E\!\left(e^{x|S|}\right)\leq\E\!\left(e^{xS}\right)+\E\!\left(e^{-xS}\right)\leq2\exp\!\left(\frac{x^2}{2}\sum_{i=1}^nc_i^2\right).
\]
On obtient donc :
\[
\P(|S|>t)\leq\frac{2\exp\!\left(\dfrac{x^2}{2}\displaystyle\sum c_i^2\right)}{e^{xt}}=2\exp\!\left(\frac{x^2\displaystyle\sum c_i^2}{2}-xt\right).\qquad\square
\]

\subsection*{Q7. — Queue sous-gaussienne}

D'après Q6, pour tout $x>0$ :
\[
\P(|S|>t)\leq2\exp\bigl(h(x)\bigr),\quad\text{où }h(x)=\frac{x^2\sum c_i^2}{2}-xt.
\]

\textbf{Cas $\sum c_i^2=0$.} Tous les $c_i$ sont nuls, donc $S=0$ p.s. et $\P(|S|>t)=0$ pour tout $t>0$. L'inégalité est triviale.

\textbf{Cas $\sum c_i^2>0$.} La fonction $h$ est un polynôme du second degré en $x$ à coefficient dominant $\frac{\sum c_i^2}{2}>0$. Elle admet un minimum global en $x^*=\frac{t}{\sum c_i^2}>0$, avec :
\[
h(x^*)=\frac{t^2}{2\sum c_i^2}-\frac{t^2}{\sum c_i^2}=-\frac{t^2}{2\sum c_i^2}.
\]
En prenant $x=x^*$ dans l'inégalité de Q6 :
\[
\P\!\left(\left|\sum_{i=1}^nc_iX_i\right|>t\right)\leq2\exp\!\left(-\frac{t^2}{2\displaystyle\sum_{i=1}^nc_i^2}\right).\qquad\square
\]

% ======================================================
\section*{Inégalités de Khintchine}
% ======================================================

\subsection*{Q8. — Formule de la « couche »}

Soit $X:\Omega\to\R_+$ positive (et bornée car $\Omega$ est fini). Pour tout $p>0$ :
\[
\E(X^p)=p\int_0^{+\infty}t^{p-1}\P(X>t)\,dt.
\]
\textbf{Preuve.} On applique le théorème de Fubini-Tonelli (justifié car toutes les fonctions sont positives et $\Omega$ est fini) :
\begin{align*}
p\int_0^{+\infty}t^{p-1}\P(X>t)\,dt
&=p\int_0^{+\infty}t^{p-1}\E\!\left(\mathbf{1}_{X>t}\right)dt\\
&=\E\!\left(p\int_0^{+\infty}t^{p-1}\mathbf{1}_{t<X}\,dt\right)\\
&=\E\!\left(p\int_0^X t^{p-1}\,dt\right)
=\E\!\left(\left[t^p\right]_0^X\right)=\E(X^p).\qquad\square
\end{align*}
(L'intégrale est bien définie car $X$ est bornée, donc $\mathbf{1}_{t<X}=0$ pour $t$ suffisamment grand.)

\subsection*{Q9. — Majoration de $\E(|S|^4)$}

Posons $Z=\left|\sum_{i=1}^nc_iX_i\right|\geq0$ et supposons $\sum c_i^2=1$.

\textbf{Calcul préalable de $\displaystyle\int_0^{+\infty}t^3e^{-t^2/2}\,dt$.}
On effectue le changement de variable $u=t^2/2$ (donc $t=\sqrt{2u}$, $dt=\frac{1}{\sqrt{2u}}\,du$) :
\[
\int_0^{+\infty}t^3e^{-t^2/2}\,dt=\int_0^{+\infty}(\sqrt{2u})^3\,e^{-u}\cdot\frac{du}{\sqrt{2u}}=\int_0^{+\infty}(2u)\,e^{-u}\,du=2\int_0^{+\infty}u\,e^{-u}\,du=2\,\Gamma(2)=2.
\]

\textbf{Majoration.} Par la formule de Q8 avec $p=4$ et $X=Z$ :
\[
\E(Z^4)=4\int_0^{+\infty}t^3\,\P(Z>t)\,dt.
\]
Comme $Z=|S|\geq0$, on a $\P(Z>t)=\P(|S|>t)\leq2e^{-t^2/2}$ par Q7 (avec $\sum c_i^2=1$). Donc :
\[
\E(Z^4)\leq4\int_0^{+\infty}t^3\cdot2e^{-t^2/2}\,dt=8\int_0^{+\infty}t^3e^{-t^2/2}\,dt=8\times2=16.\qquad\square
\]

\subsection*{Q10. — Calcul de $\E(S^2)$}

\[
\E\!\left(\left(\sum_{i=1}^nc_iX_i\right)^{\!2}\right)=\E\!\left(\sum_{i=1}^nc_i^2X_i^2+2\sum_{1\leq i<j\leq n}c_ic_j\,X_iX_j\right)=\sum_{i=1}^nc_i^2\,\E(X_i^2)+2\sum_{i<j}c_ic_j\,\E(X_iX_j).
\]
\begin{itemize}[nosep]
  \item Pour tout $i$ : $\E(X_i^2)=\frac{1}{2}\cdot(+1)^2+\frac{1}{2}\cdot(-1)^2=1$.
  \item Pour $i\neq j$ : par indépendance, $\E(X_iX_j)=\E(X_i)\,\E(X_j)=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^2=0$.
\end{itemize}
Donc :
\[
\E\!\left(\left(\sum_{i=1}^nc_iX_i\right)^{\!2}\right)=\sum_{i=1}^nc_i^2.\qquad\square
\]

\subsection*{Q11. — Borne supérieure (inégalité de Khintchine, côté droit)}

Soit $p\geq1$. On cherche $\beta_p>0$ tel que $\left(\E\!\left(\left|\sum c_iX_i\right|^p\right)\right)^{1/p}\leq\beta_p\left(\sum c_i^2\right)^{1/2}$.

\textbf{Cas $\sum c_i^2=0$.} Tous les $c_i$ sont nuls, les deux membres sont nuls.

\textbf{Cas $\sum c_i^2>0$.} Posons $c'_i=c_i/\left(\sum c_j^2\right)^{1/2}$, de sorte que $\sum c'^2_i=1$, et $Z'=\sum c'_iX_i$.

Par Q8 (formule de la couche, appliquée à $|Z'|$) et Q7 (avec $\sum c'^2_i=1$) :
\[
\E(|Z'|^p)=p\int_0^{+\infty}t^{p-1}\P(|Z'|>t)\,dt\leq2p\int_0^{+\infty}t^{p-1}e^{-t^2/2}\,dt=:C_p.
\]
\textbf{Convergence de $C_p$.} Par le changement de variable $u=t^2/2$ :
\[
\int_0^{+\infty}t^{p-1}e^{-t^2/2}\,dt=2^{(p-2)/2}\int_0^{+\infty}u^{p/2-1}e^{-u}\,du=2^{(p-2)/2}\,\Gamma\!\left(\tfrac{p}{2}\right)<+\infty,
\]
car $p\geq1$ implique $p/2>0$. Donc $C_p=p\cdot2^{p/2-1}\Gamma(p/2)<+\infty$.

Par homogénéité ($Z=(\sum c_i^2)^{1/2}Z'$) :
\[
\E\!\left(\left|\sum c_iX_i\right|^p\right)=\left(\sum c_i^2\right)^{p/2}\E(|Z'|^p)\leq C_p\left(\sum c_i^2\right)^{p/2}.
\]
En posant $\beta_p=C_p^{1/p}=\left(p\cdot2^{p/2-1}\Gamma(p/2)\right)^{1/p}>0$ :
\[
\left(\E\!\left(\left|\sum_{i=1}^nc_iX_i\right|^p\right)\right)^{1/p}\leq\beta_p\left(\sum_{i=1}^nc_i^2\right)^{1/2}.\qquad\square
\]

\subsection*{Q12. — Borne inférieure pour $p\geq2$ (Jensen)}

Posons $Z=\sum c_iX_i$. La fonction $\varphi:x\mapsto x^{p/2}$ est définie et convexe sur $\R_+$ pour $p\geq2$ (car $\varphi''(x)=\frac{p}{2}\bigl(\frac{p}{2}-1\bigr)x^{p/2-2}\geq0$). Par l'inégalité de Jensen appliquée à la variable $Z^2\geq0$ :
\[
\varphi\!\left(\E(Z^2)\right)\leq\E\!\left(\varphi(Z^2)\right),
\]
soit $\left(\E(Z^2)\right)^{p/2}\leq\E\!\left((Z^2)^{p/2}\right)=\E(|Z|^p)$. En élevant à la puissance $\frac{1}{p}>0$ :
\[
\left(\E(Z^2)\right)^{1/2}\leq\left(\E(|Z|^p)\right)^{1/p}.\qquad\square
\]

\subsection*{Q13. — Calcul de $\theta$}

On cherche $\theta\in\,]0,1[$ vérifiant $\frac{1}{2}=\frac{\theta}{p}+\frac{1-\theta}{4}$.

En développant : $\frac{1}{2}=\frac{\theta}{p}+\frac{1}{4}-\frac{\theta}{4}$, soit $\frac{1}{4}=\theta\!\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{4}\right)=\theta\cdot\frac{4-p}{4p}$. Donc :
\[
\theta=\frac{p}{4-p}.
\]

Vérifions $\theta\in\,]0,1[$ pour $1\leq p<2$ :
\begin{itemize}[nosep]
  \item $\theta>0$ : évident car $p\geq1>0$ et $4-p\geq4-2=2>0$.
  \item $\theta<1$ : $\frac{p}{4-p}<1\iff p<4-p\iff 2p<4\iff p<2$. \checkmark
\end{itemize}
Ainsi $\theta=\frac{p}{4-p}\in\,]0,1[$ pour tout $1\leq p<2$.\quad$\square$

\subsection*{Q14. — Interpolation par Hölder}

Posons $Z=\sum c_iX_i$. On décompose $Z^2$ comme suit :
\[
Z^2=(Z^p)^{2\theta/p}\cdot(Z^4)^{(1-\theta)/2},
\]
où l'on a utilisé $|Z|^{2\theta}=|Z|^{p\cdot2\theta/p}$ et $|Z|^{2(1-\theta)}=|Z|^{4\cdot(1-\theta)/2}$. Vérifions l'exposant total de $|Z|$ :
\[
p\cdot\frac{2\theta}{p}+4\cdot\frac{1-\theta}{2}=2\theta+2(1-\theta)=2.\quad\checkmark
\]

On va appliquer l'inégalité de Hölder (Q2) à $U=(|Z|^p)^{2\theta/p}$ et $V=(|Z|^4)^{(1-\theta)/2}$ avec les exposants conjugués :
\[
r=\frac{p}{2\theta},\quad s=\frac{2}{1-\theta}.
\]
Vérifions $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{2\theta}{p}+\frac{1-\theta}{2}$. Par Q13, $\frac{\theta}{p}+\frac{1-\theta}{4}=\frac{1}{2}$, donc en multipliant par $2$ : $\frac{2\theta}{p}+\frac{1-\theta}{2}=1$. Les exposants $r$ et $s$ sont bien conjugués.

On a $U^r=(|Z|^p)^{2\theta/p\cdot p/(2\theta)}=|Z|^p$ et $V^s=(|Z|^4)^{(1-\theta)/2\cdot 2/(1-\theta)}=|Z|^4$. Donc par Hölder :
\[
\E(Z^2)=\E(UV)\leq\left(\E(U^r)\right)^{1/r}\left(\E(V^s)\right)^{1/s}=\left(\E(|Z|^p)\right)^{2\theta/p}\left(\E(Z^4)\right)^{(1-\theta)/2}.\qquad\square
\]

\subsection*{Q15. — Borne inférieure pour $1\leq p<2$}

\textbf{Étape 1 : majoration de $\E(Z^4)$ par $\E(Z^2)^2$.}
D'après Q11 appliqué avec $p=4$ :
\[
\E(Z^4)\leq\beta_4^4\left(\sum c_i^2\right)^2.
\]
Par Q10, $\sum c_i^2=\E(Z^2)$, donc :
\[
\E(Z^4)\leq\beta_4^4\,\E(Z^2)^2.
\]

\textbf{Étape 2 : substitution dans Q14.}
\[
\E(Z^2)\leq\left(\E(|Z|^p)\right)^{2\theta/p}\cdot\left(\beta_4^4\,\E(Z^2)^2\right)^{(1-\theta)/2}=\beta_4^{2(1-\theta)}\,\E(Z^2)^{1-\theta}\cdot\left(\E(|Z|^p)\right)^{2\theta/p}.
\]

\textbf{Étape 3 : isolation de $\E(Z^2)$.}
Si $\E(Z^2)=0$, alors $Z=0$ p.s. (car $\Omega$ fini) et la borne inférieure $\alpha_p\cdot0\leq0$ est triviale. Sinon, $\E(Z^2)>0$ et on divise par $\E(Z^2)^{1-\theta}>0$ :
\[
\E(Z^2)^{\theta}\leq\beta_4^{2(1-\theta)}\left(\E(|Z|^p)\right)^{2\theta/p}.
\]
En élevant à la puissance $\frac{1}{2\theta}>0$ :
\[
\E(Z^2)^{1/2}\leq\beta_4^{(1-\theta)/\theta}\left(\E(|Z|^p)\right)^{1/p}.
\]
On pose $\alpha_p=\beta_4^{-(1-\theta)/\theta}>0$ (avec $\theta=p/(4-p)$, soit $(1-\theta)/\theta=(4-2p)/p$) :
\[
\alpha_p\,\E(Z^2)^{1/2}\leq\left(\E(|Z|^p)\right)^{1/p},\quad\text{où }\alpha_p=\beta_4^{-(4-2p)/p}>0.\qquad\square
\]

\subsection*{Q16. — Inégalités de Khintchine : bilan}

Pour tout $p\geq1$ et tout $(c_1,\ldots,c_n)\in\R^n$, posons $S=\sum_{i=1}^nc_iX_i$ :

\begin{itemize}[nosep]
  \item \textbf{Borne supérieure (tous $p\geq1$)} : Q11 donne $\bigl(\E(|S|^p)\bigr)^{1/p}\leq\beta_p\,\E(S^2)^{1/2}$ avec $\beta_p=\bigl(p\cdot2^{p/2-1}\Gamma(p/2)\bigr)^{1/p}>0$.
  \item \textbf{Borne inférieure pour $p\geq2$} : Q12 (Jensen) donne $\E(S^2)^{1/2}\leq\bigl(\E(|S|^p)\bigr)^{1/p}$, soit $\alpha_p=1$.
  \item \textbf{Borne inférieure pour $1\leq p<2$} : Q15 donne $\alpha_p\,\E(S^2)^{1/2}\leq\bigl(\E(|S|^p)\bigr)^{1/p}$ avec $\alpha_p=\beta_4^{-(4-2p)/p}>0$.
\end{itemize}

On vérifie $\alpha_p\leq\beta_p$ : en appliquant les deux inégalités à $S=X_1$ (donc $\sum c_i^2=1$, $\E(S^2)^{1/2}=1$, $\E(|S|^p)^{1/p}=1$), on obtient $\alpha_p\leq1\leq\beta_p$.

En conclusion, pour tout $p\geq1$, il existe $0<\alpha_p\leq\beta_p$ tels que :
\[
\alpha_p\!\left(\sum_{i=1}^nc_i^2\right)^{1/2}\leq\left(\E\!\left(\left|\sum_{i=1}^nc_iX_i\right|^p\right)\right)^{1/p}\leq\beta_p\!\left(\sum_{i=1}^nc_i^2\right)^{1/2}.\qquad\square
\]

% ======================================================
\section*{Une première conséquence}
% ======================================================

\subsection*{Q17. — Produit scalaire sur $L^2(\Omega)$}

$\Omega$ est fini ; notons $L^2(\Omega)$ l'espace des variables aléatoires réelles sur $\Omega$ (toutes sont bornées). Posons $\varphi(X,Y)=\E(XY)$.

\begin{itemize}[nosep]
  \item \textit{Bilinéarité} : par linéarité de l'espérance, $\varphi(aX+bX',Y)=a\,\E(XY)+b\,\E(X'Y)$. De même en le second argument.
  \item \textit{Symétrie} : $\varphi(X,Y)=\E(XY)=\E(YX)=\varphi(Y,X)$.
  \item \textit{Positivité} : $\varphi(X,X)=\E(X^2)=\sum_{\omega\in\Omega}\P(\{\omega\})\,X(\omega)^2\geq0$.
  \item \textit{Définition positive} : si $\E(X^2)=0$, alors pour tout $\omega\in\Omega$, le terme $\P(\{\omega\})\,X(\omega)^2$ est positif et leur somme est nulle ; or $\P(\{\omega\})>0$ (probabilité d'un singleton dans un espace fini), donc $X(\omega)^2=0$, soit $X(\omega)=0$ pour tout $\omega$, i.e.\ $X\equiv0$.
\end{itemize}
$\varphi$ est donc un produit scalaire sur $L^2(\Omega)$, de norme associée $\norm{X}_2=\E(X^2)^{1/2}$.\quad$\square$

\subsection*{Q18. — $\psi$ est une isométrie}

Pour $u=(u_i)_{i\geq0}\in\R^{(\N)}$ (suite à support fini), posons $\psi(u)=\sum_{i=0}^{+\infty}u_iX_i\in L^2(\Omega)$ (somme finie).

La linéarité de $\psi$ est immédiate par linéarité de l'espérance.

Pour $u,v\in\R^{(\N)}$, les sommes $\psi(u)$ et $\psi(v)$ étant finies, on peut développer :
\[
\varphi(\psi(u),\psi(v))=\E\!\left(\sum_{i}u_iX_i\cdot\sum_{j}v_jX_j\right)=\sum_{i,j}u_iv_j\,\E(X_iX_j).
\]
Or, les variables de Rademacher $(X_i)_{i\geq0}$ sont indépendantes et centrées :
\[
\E(X_iX_j)=\begin{cases}
  \E(X_i^2)=1 & \text{si }i=j,\\
  \E(X_i)\,\E(X_j)=0\cdot0=0 & \text{si }i\neq j.
\end{cases}
\]
Donc $\varphi(\psi(u),\psi(v))=\sum_i u_iv_i=\langle u,v\rangle_{\R^{(\N)}}$. En particulier :
\[
\norm{\psi(u)}_2^2=\varphi(\psi(u),\psi(u))=\norm{u}_{\R^{(\N)}}^2,
\]
ce qui montre que $\psi$ est une isométrie (linéaire) de $(\R^{(\N)},\langle\cdot,\cdot\rangle)$ dans $(L^2(\Omega),\varphi)$.\quad$\square$

\subsection*{Q19. — Équivalence de toutes les normes $L^p$ sur $R$}

Notons $R=\psi(\R^{(\N)})\subset L^2(\Omega)$. Soit $Z\in R$ : il existe $u\in\R^{(\N)}$ tel que $Z=\psi(u)=\sum_i u_iX_i$.

Par Q18 : $\norm{Z}_2=\norm{u}_{\R^{(\N)}}=\bigl(\sum_i u_i^2\bigr)^{1/2}$.

Les inégalités de Khintchine (Q16) avec $c_i=u_i$ donnent, pour tout $p\geq1$ :
\[
\alpha_p\,\norm{Z}_2\leq\norm{Z}_p\leq\beta_p\,\norm{Z}_2.
\]
Soient $p,q\geq1$. Combinant les deux inégalités :
\[
\norm{Z}_p\leq\beta_p\,\norm{Z}_2\leq\frac{\beta_p}{\alpha_q}\,\norm{Z}_q,
\]
\[
\norm{Z}_p\geq\alpha_p\,\norm{Z}_2\geq\frac{\alpha_p}{\beta_q}\,\norm{Z}_q.
\]
Donc, avec les constantes $A_{p,q}=\alpha_p/\beta_q>0$ et $B_{p,q}=\beta_p/\alpha_q>0$ (indépendantes de $Z$ et de $n$) :
\[
A_{p,q}\,\norm{Z}_q\leq\norm{Z}_p\leq B_{p,q}\,\norm{Z}_q\quad\forall\,Z\in R.\qquad\square
\]

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\section*{Une deuxième conséquence}
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\subsection*{Q20. — Application à la loi uniforme sur $\{-1,1\}^k$}

Posons $n=2^k$. Soit $\Omega=\{-1,1\}^k$ muni de la probabilité uniforme $\P(\{\varepsilon\})=\frac{1}{2^k}=\frac{1}{n}$.

Pour $i\in\{1,\ldots,k\}$, définissons $X_i:\Omega\to\{-1,1\}$ par $X_i(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_k)=\varepsilon_i$.

\textbf{Les $X_i$ sont des variables de Rademacher indépendantes.}
\begin{itemize}[nosep]
  \item $\P(X_i=1)=|\{(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_k):\varepsilon_i=+1\}|/n=2^{k-1}/2^k=1/2$. De même $\P(X_i=-1)=1/2$.
  \item Indépendance : pour tout $(a_1,\ldots,a_k)\in\{-1,1\}^k$, $\P(X_1=a_1,\ldots,X_k=a_k)=1/n=\prod_{i=1}^k\P(X_i=a_i)$.
\end{itemize}

Posons $Z=\sum_{i=1}^ka_iX_i$. Par Q10 : $\norm{Z}_2^2=\E(Z^2)=\sum_{i=1}^ka_i^2=\norm{a}_{\R^k}^2$.

On calcule directement :
\[
\norm{Z}_1=\E(|Z|)=\frac{1}{n}\sum_{\varepsilon\in\{-1,1\}^k}\left|\sum_{i=1}^ka_i\varepsilon_i\right|.
\]
Par les inégalités de Khintchine (Q16) avec $p=1$ :
\[
\alpha_1\,\norm{Z}_2\leq\norm{Z}_1\leq\beta_1\,\norm{Z}_2.
\]
En multipliant par $n$ et en substituant $\norm{Z}_1=\frac{1}{n}\sum_\varepsilon|\sum_ia_i\varepsilon_i|$ et $\norm{Z}_2=\norm{a}_{\R^k}$ :
\[
\alpha_1\,n\,\norm{a}_{\R^k}\leq\sum_{\varepsilon\in\{-1,1\}^k}\left|\sum_{i=1}^ka_i\varepsilon_i\right|\leq\beta_1\,n\,\norm{a}_{\R^k}.\qquad\square
\]

\subsection*{Q21. — Sous-espace de $\R^n$ à normes $\ell^1$ et $\ell^2$ équivalentes}

Reprenons $n=2^k$. Ordonnons les éléments de $\{-1,1\}^k$ en $(\varepsilon^{(1)},\ldots,\varepsilon^{(n)})$ (ordre quelconque mais fixé). Définissons l'application linéaire $T:\R^k\to\R^n$ par :
\[
T(a)=\left(\sum_{i=1}^ka_i\varepsilon_i^{(j)}\right)_{j=1}^n.
\]

\textbf{Injectivité de $T$.} Supposons $T(a)=0$, c'est-à-dire $\sum_{i=1}^ka_i\varepsilon_i=0$ pour tout $\varepsilon\in\{-1,1\}^k$. Fixons $l\in\{1,\ldots,k\}$ et calculons :
\[
\sum_{\varepsilon\in\{-1,1\}^k}\varepsilon_l\cdot\left(\sum_{i=1}^ka_i\varepsilon_i\right)=0
\quad\Longrightarrow\quad\sum_{i=1}^ka_i\underbrace{\sum_{\varepsilon\in\{-1,1\}^k}\varepsilon_l\varepsilon_i}_{=:M_{li}}=0.
\]
On calcule $M_{li}$ : pour $i\neq l$, $\sum_{\varepsilon}\varepsilon_l\varepsilon_i=\bigl(\sum_{\varepsilon_l\in\{-1,1\}}\varepsilon_l\bigr)\bigl(\sum_{\varepsilon_i\in\{-1,1\}}\varepsilon_i\bigr)\cdot2^{k-2}=0$. Pour $i=l$, $\sum_\varepsilon\varepsilon_l^2=n$. Donc $n\cdot a_l=0$, soit $a_l=0$. Ceci étant valable pour tout $l$, on conclut $a=0$.

Ainsi $T$ est injective, et $F=T(\R^k)$ est un \textbf{sous-espace de dimension $k$} de $\R^n$.

\textbf{Calcul des normes de $x=T(a)$.}
\[
\norm{x}_{1}^{\R^n}=\sum_{j=1}^n\left|\sum_{i=1}^ka_i\varepsilon_i^{(j)}\right|=\sum_{\varepsilon\in\{-1,1\}^k}\left|\sum_{i=1}^ka_i\varepsilon_i\right|.
\]
\[
\norm{x}_{2}^{\R^n}=\left(\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^ka_i\varepsilon_i^{(j)}\right)^{\!2}\right)^{1/2}=\left(n\cdot\frac{1}{n}\sum_{\varepsilon\in\{-1,1\}^k}\left(\sum_{i=1}^ka_i\varepsilon_i\right)^{\!2}\right)^{1/2}=\sqrt{n}\,\E\!\left(Z^2\right)^{1/2}=\sqrt{n}\,\norm{a}_{\R^k},
\]
où l'on a utilisé Q10 pour $\E(Z^2)=\sum a_i^2=\norm{a}_{\R^k}^2$. On obtient donc :
\[
\norm{a}_{\R^k}=\frac{\norm{x}_{2}^{\R^n}}{\sqrt{n}}.
\]
\textbf{Application de Q20.} En substituant dans les inégalités de Q20 :
\[
\alpha_1\,n\cdot\frac{\norm{x}_{2}^{\R^n}}{\sqrt{n}}\leq\norm{x}_{1}^{\R^n}\leq\beta_1\,n\cdot\frac{\norm{x}_{2}^{\R^n}}{\sqrt{n}},
\]
soit, pour tout $x\in F$ :
\[
\alpha_1\sqrt{n}\,\norm{x}_{2}^{\R^n}\leq\norm{x}_{1}^{\R^n}\leq\beta_1\sqrt{n}\,\norm{x}_{2}^{\R^n}.\qquad\square
\]

\end{document}